Stammfunktion. Füllmenge mit dem angegebenen Integral? 3.2.?

Question

Die stamfunktion zu diesem integral müsste doch -4e^4 lauten (Aufgabe 3.2)oder nicht? Weil ich nicht auf das geforderte Ergebnis komme..

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EDIT: Habe in der Überschrift ein "m" ergänzt.

Answer 1

> Die stamfunktion zu diesem integral müsste doch -4e⁴ lauten

Die Funktion F(t) = -4e⁴ ist eine konstante Funktion, die an jeder Stelle den Funktionswert -4e⁴ ≈ 218,39 hat. Zum Beispiel ist f(5) = -4e⁴. Das findest du heraus indem du im Funktionsterm -4e⁴ jedes t durch 5 ersetzt.

Weil F(t) eine konstante Funktion ist, ist F'(t) = 0. Gefordert ist aber F'(t) = A·t·e^-t.

Die Stammfunktion von g(t) = A·t·e^-t lautet G(t) = -A·(t+1)·e^-t. Das kannst du prüfen indem du G(t) ableitest. Finden kannst du die Stammfunktion mit partieller Integration.

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Ja da hab ich mich falsch ausgedrückt,ich hatte die Grenze 4 schon eingesetzt. aber wie ist das denn mit dem A,,das wurde doch in der Lösung schon vor der Bildung der stammfunktion vor das Integral gezogen. Bleibt das dann einfach da stehen?

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> ... mit dem A,,das wurde doch in der Lösung schon vor der Bildung der stammfunktion vor das Integral gezogen.

Das nennt sich Faktorregel.

> Bleibt das dann einfach da stehen?

Ja. Weglassen darf man es nicht, weil der resultierende Term dann nicht mehr äquivalent zu dem vorherigen ist, und mit anderen A's kann man es nicht zusammenfassen weil im Integranden kein A mehr vorkommt.

Answer 2

Die richtige Stammfunktion wurde in der vorausgehenden Antwort genannt. Unter 3.2 findet man gar keine Stammfunktion, sondern nur ein bestimmtes Integral. Beim Lösen von 3.1 dagegen findet man eine Stammfunktion, die sich auch hier (3.2) eignet.

Answer 3

Das bestimmte Integral, das bei 3.1. ausgerechnet wurde, kannst du nicht so vereinfachen.

Du musst es bei 3.2. exakt so wieder verwenden, weil die Wasserstromstärke A vor das Integral gezogen werden konnte.

Also -5*e^{-4} + 1 * e^0 =  = -5e^{-4} + 1 = 0.908 .

Mehr, als was in der Antwort steht, kann man hier eigentlich nicht hinschreiben.

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Aber warum denn (t+1) ?

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Das musst du nicht weiter begründen.

Wenn du 3.1. die erste Rechnung gemacht hast, ist bewiesen, dass in der Stammfunktion F(t) der Faktor (t+1) vorkommt.