das Zufallsexperiment, was hier beschrieben wird, ist wahrscheinlich das berühmte Galtonbrett: https://de.wikipedia.org/wiki/Galtonbrett . Dieses lässt sich mit einer Binomialverteilung beschreiben.
Man kann sich für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung zum Beispiel folgenden Onlinerechners bedienen: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm .
Als Parameter für die Binomialverteilung wählt man \( n = 20 \) und \( p = 0.5 \).
Die Wahrscheinlichkeit für eine Kugel, in einem der Gefäße mit \( 8 \leq i \leq 12 \) zu landen, beträgt
\( P(8 \leq i \leq 12) = \sum_{i=8}^{12}\limits \binom{20}{i} p^i (1-p)^{n-i} \)
\( = P(i \leq 12) - P(i < 8) \approx 0,8684 - 0,1315 = 0,7369 = 73,69\ \% \).
Die Wahrscheinlichkeit, in einem einzelnen Gefäß der Nummer \( i \) zu landen (dies entspricht jetzt der eigentlichen Aufgabenstellung bei a)), entspricht
\( P(i) = \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \).
Für \( i = 8 \) ergibt sich beispielsweise
\( P(i=8) = \binom{20}{8} (0,5)^8 (0,5)^{12} \approx 0,1201 = 12,01\ \% \).
Die anderen Wahrscheinlichkeiten ergeben sich analog.
Für Aufgabe b) musst die die Anzahl der Kugeln mit der Wahrscheinlichkeit für das jeweilige Fach multiplizieren. Beispielsweise ist
\( 1000 \cdot 12,01\ \% = 1000 \cdot 0,1201 \approx 120 \).
Die anderen Ergebnisse ergeben sich wieder analog.
Mister
