Beweise, dass die Menge ein affiner Unterraum ist

Question

Sei n\(\in\mathbb{N}\).  Sei \(\mathbb{K}_n[t]\) der Vektorraum der Polynome in \(\mathbb{K}[t]\) mit Grad \(\leq\) n

Sei a,b \(\in \mathbb{K}\) zwei feste aber beliebige Elemente. Beweisen sie, dass die Menge

$$ W_{a,b} := [{{p(t) \in \mathbb{K}_n[t]|p(a)=b}}]$$

ein affiner Unterraum ist.

Welcher ist der zugehörige Vektorraum? Was ist die Dimension von \(W_{a,b}\)?

Was kann man daraus auf den Fall mit ganz \(\mathbb{K}[t]\) statt \(\mathbb{K}_n[t]\) schliessen?

Answer 1

betrachte das konstante Polynom \(q(t) = b\) und die Teilmenge \(T = \{p(t) \in \mathbb{K}_n | p(a) = 0 \} \). Dann ist

$$ W_{a,b} = q(t) + T_a $$

Gruß

Comments

Danke vielmals für die Hilfe ich sehe aber leider immer noch nicht, wie ich anfangen soll.

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Du solltest damit anfangen dir zu überlegen, warum dass bereits der Beweis dafür ist, dass es sich um einen affinen Unterraum handelt. Dabei wirst du nicht drum rum kommen dir klar zu machen, warum diese Mengen überhaupt gleich sind.

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Okay wir haben den affinen Raum definiert durch

 U={\(a_0+v|v\in W\)}

mit W Unterraum von V ( Vektorraum) und \(a_0\) im affinen Raum.

Dann ist q(t)=b also das konstante Polynom ein \(a_0\) und der Unterraum von

V ist hier dann die Teilmenge T. Sehe ich das richtig?

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Ja, stimmt soweit.

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Was meinst du mit soweit? Habe ich so nicht schon gezeigt, dass es ein affinerer UR ist? Stehe ich irgendwie auf dem Schlauch?

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Die Begründung ist ausreichend wenn absolut klar ist, dassT ein Vektorraum ist und dass die Gleichheit tatsächlich gilt.

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wie bestimmt man die deminsion?