Potenzreihe Summe durch Differentiation berechnen

Question

Wie kann man die Summe der Reihe: sum((x^n)/n) von 1 bis unendlich

berechnen für abs(x)<1 ?

Ich habs versucht mit Umformen der Gleichung sum(nx^n)=x/(1-x)^2 aber dann bekomme ich für sum((x^n)/n) = 1/(n-nx) raus, was leider falsch ist... Die richtige Lösung wäre ja -log(1-x).

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen :)

Gruss

Answer 1

für \(|x| < 1\) ist ja bekanntlich:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1} = \frac{1}{1-x} $$

Jetzt integriere mal beide Seiten und bestimme (falls nicht klar) die dabei entstehende Konstante durch geeignete Wahl von \(x\).

Gruß

Comments

Hi Yakyu,

Danke für die Antwort.

Ist nicht sum(x^n) = 1/(1-x) ?

Gruss

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Achte auf die Wahl der Indizes.

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ah stimmt die habe ich übersehen :D

Answer 2

du hast ja schon den Lösungsweg angegeben:

Leite die Reihe zuerst ab:

$$ \frac { d }{ dx }\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { x^n }{ n }}=\sum_{n=1}^{\infty}{{ x }^{ n-1 }}=\sum_{k=0}^{\infty}{x^k}=\frac { 1 }{ 1-x } $$ Dann Stammfunktion bilden:

$$ \int \frac { 1 }{ 1-x }=-ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { x^n }{ n }}$$

Comments

Hi danke auch dir für die Antwort!

Ok stimmt ich habe das mit den Indizes übersehen und bin daher nicht drausgekommen. Eine Frage habe ich aber noch, wieso kann man das einfach differenzieren? Also wieso ist z.B. sum(x^n/n) = d/dx sum(x^n/n) ?

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das d/dx, also die Ableitung haben wir berechnet, damit wir die Folge in der Reihe vereinfachen. Die Reihe können wir danach mithilfe der Formel geometrischen Reihe bestimmen. Zum Schluss muss man dann aber das Integral noch ausrechnen, um die Ableitung aufzuheben. Wir haben also integral [d/dx sum (x^n/n)] ausgerechnet.

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Ich denke der Gast meint die Frage, warum man eine Potenzreihe gliedweise differenzieren darf

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Genau Yakyu, das habe ich eigentlich gemeint. Das ist mir noch nicht ganz klar

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Das liegt daran, weil man Summanden einzeln differenzieren darf:

$$ \frac { d }{ dx }\sum_{n=1}^{\infty}\frac { x^n }{ n}=\frac { d}{ dx }  \lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k}\frac { x^n }{ n} $$ Jetzt darf man die Ableitung reinziehen, weil der Grenzwert existiert und die Summe endlich Summanden hat.

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Die eigentliche Frage ist aber jetzt bitteschoen, warum man \(d/dx\) und \(\lim_{n\to\infty}{}\) vertauschen darf.

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ja das ist mir auch nicht ganz klar, danke für die Bemühungen aber be1300!

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Kannst Du Deinen Umterlagen entnehmen. Da gibt es Saetze zu.

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Hier kann man eine gute Herleitung finden:

http://tavrodir.lima-city.de/Arbeiten/Gliedweise%20Differentiation%20von%20Potenzreihen.pdf

Aber das solltet ihr schon in der Vorlesung hergeleitet haben.