Logarithmus Aufgabe für helle köpfe 3^x=1/2-x

Question

ich muss das x der Aufgabe 3^x=1/2-x errechnen, durch Logarthmus, jemand eine idee?

Answer 1

Erst dachte ich an:

3^x=1/2-x

e^{log(3)*x}=-1*x+1/2

also §5 in

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

ABER dann las ich die Kommentare und erkannte, dass Du weder komplexe Zahlen noch die LambertW Funktion hattest, sondern nur die Klammern vergessen hast (Punktrechnung geht vor Strichrechnung)!!!

3^x=1/(2-x) {hier erkennen einige schon die Lösung}

2-x = 3^{-x} | *3²

3²*(2-x)=3^{2-x} Substitution u=2-x; x=2-u

3²*u = 3^u = 3*3*u

zwar könnte man diese Aufgabe auch wieder exakt mit LambertW §1 oder §5 lösen,

aber Ihr sollt vermutlich nur zeichnen oder erkennen, dass u=3

damit x=2-3=-1 und der Schnittpunkt f(-1)=1/3

Für Interessierte : es gibt meist noch komplexe Lösungen

Comments

moment ja es ist richtig ich habe die Klammer vergessen^^

3^x=1/(2-x) {hier erkennen einige schon die Lösung}

2-x = 3^-x | *3²

3²*(2-x)=3^2-x Substitution u=2-x; x=2-u

3²*u = 3^u = 3*3*u

zwar könnte man diese Aufgabe auch wieder exakt mit LambertW §1 oder §5 lösen,

aber Ihr sollt vermutlich nur zeichnen oder erkennen, dass u=3

damit x=2-3=-1 und der Schnittpunkt f(-1)=1/3

zu dem block kannst du den Näher erläutern? es ist richtig es sollte für f(x)= 1/3 rauskommen und für x= -1
aber was hast du genau gemacht?

wieso hast du hier ( 2-x = 3^-x | *3²  ) bzw. wo hast du die 3^2 her?

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Deine Nachfragen zeigen, dass Du weder den LINK angeklickt hast

{also wie die exakte Lösung mit der Umkehrfunktion von x*e^x

die ja LambertW(n,x) lautet}

noch die Potenzgesetze zu kennen scheinst...

§1) a^u * a^v = a^{u+v}

§2) um nach x aufzulösen gibt es 3 Wege:

a) exakte Umstellung per Umkehrfunktion

(da Ihr LambertW nicht hattet, bin ich nicht näher drauf eingegangen)

b) Substitution mit Erkennung primitiver Grundrechenarten

(was ich bereits hingeschrieben hatte)

c) Näherungslösungen wie Bisektion oder Newton-Iteration

(hattet Ihr das schon?)

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm 

Beispiel 118 bei Fx(x) eingeben: 2-x-pow(3,-x)

und der spuckt die 2. reelle Lösung aus:

Um logisch an die Sache heranzugehen, schreibt man die gegebenen Daten auf:

gegeben: f1(x)= 3^x

 f2(x)=1/(2-x)

gesucht: x, wenn f1(x)=f2(x) -> Damit also der Schnittpunkt [ x , f1(x) ]

Lösung b):

um die x'e links & rechts des Gleichheitszeichens zu vereinfachen, gibt es die

Substitution: man will Klammern vereinfachen und die Potenz so einfach wie möglich haben

2-x = 3^-x | *3² um §1 rechts der Klammer anwenden zu können, denn u=-x und v=2

3²*(2-x)=3^[2-x]  | jetzt gibt es links & rechts der Klammer identische Teile für Subst.

u=2-x; x=2-u ergibt

3²*u = 3^u

3*3*u = 3^u = Produkt[3*3*..*3] u mal multiplizieren

Nun sollte selbst ein Schüler der 6. Klasse erkennen, dass die rechte Seite gleich der linken Seite ist,

wenn man 3 mal die 3 mit einander multipliziert, denn

3*3*3 = 3*3*3

u=3

Rücksubst: x = 2-u=2-3=-1

y = f1(x) = f1(-1) = 3^-1 = 1/3

Endergebnis: Schnittpunkt= [x,y]=[-1 , 1/3]

exakte Lösung a)

x[n]=(LambertW(n,-(log(3))/9)+2 log(3))/log(3),n=-2...1

der LINK zeigt zum Rechner, der neben WolframAlpha die Funktionswerte von

-(log(3))/9=-0.1220680320742344101550272485469473... kann

von den 4 Lösungen suche ich mal die erste reelle heraus (also ohne komplexen Anteil)

die auch mit Lösung b) übereinstimmt: n=-1

x[-1]=(-3.29583686600432907418573571076757724+2 log(3))/log(3)= -1

Alle 4 Lösungen zusammen:

 n | x[n] 

-2 | -1.85885965617089619104320394170070-6.671690431844623856155953086257 i

-1 | -1.00000000000000000000000000000000

 0 | 1.872130575410988181375709728204236

 1 | -1.85885965617089619104320394170070+6.671690431844623856155953086257 i

Plot (den Ihr vermutlich nur grob ablesen solltet) bestätigt die beiden reellen Schnittpunkte:

Answer 2

3^x = 1/2 - x

Ich denke nicht das das so einfach algebraisch zu lösen ist, wie du es gerne hättest.

Über ein Näherungsverfahren komme ich auf x = -0.2553679208

Comments

im Unterricht kamen wir auf x= 1/3 nachdem wir 2 Gleichungen aufgestellt hatten, sagte der lehrer wir sollen den schnittpunkt dieser 2 gleichung berechnen sprich wo sie sich treffen, indem wir sie gleichsetzen und die gleichung oben lautet so, heist es muss x = 1/3 rauskommen, aber ich brauch die rechnung dazu.

Answer 3

Hi, es gilt$$3^x=\frac { 1} {2-x} \quad \Leftrightarrow\quad x=-1.$$Wie man das durch Logarithmieren löst, weiß ich nicht. Man könnte allenfalls die Gleichung etwas umschreiben, so dass die Lösung besser ins Auge springt...

(Falls ich die Frage so richtig interpretiert habe, hast du sie allerdings nicht richtig gestellt!)

Comments

der lehrer meinte die gleichung ließe sich durch Logarithmus lösen habe zum vorposter von dir einen kommi geschrieben in der Wertetabelle haben sie sich halt im Punkt (-1:1/3) getroffen.

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Ich habe mir auch nichts anderes dabei gedacht! :-)

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und wie lautet jetzt die Lösungsgleichung?

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So, wie ich oben schrieb!

Answer 4

Bist du sicher dass du hier alles richtig abgeschrieben hast? denn für die Gleichung kann der x Wert niemals 1/3 bzw. positiv sein