Ungleichung erster Fall x<-1

Question

wie im Bild zu sehen, habe ich den ersten Fall der Ungleichung betrachtet. (Nur der 1 Fall interessiert mich)

Wolframalpha sagt, dass -inf, 0] das Lösungsergebnis sei. Aber wie kann das denn sein?

Meiner Meinung nach wäre es -inf, -1

Answer 1

Kontrolle durch die Grafik

Zur Kontrolle deiner Lösung bringst du die rechte Seite der Gleichung
auf die linke Seite

abs(x^2-1) - abs(x+1) ≥ 0

Lösungsmenge : die Funktion ist ≥ 0 bzw. alles oberhalb der x-Achse

~plot~ abs(x^2-1) - abs(x+1) ~plot~

2.Variante :

Du änderst die Gleichung nicht, zeichnest die linke Seite und die rechte Seite
der Gleichung getrennt als Grafik. Falls die linke Seite oberhalb der rechten Seite
ist ist die Ungleichung erfüllt.
linke Seite ( blau )
rechte Seite ( rot )

~plot~ abs(x^2-1) ; abs(x+1) ~plot~

Comments

Danke für eure ganzen Antworten!

Also der erste Fall hat tatsächlich als Lösung: -inf, -1

Aber: Fall 2 mit -1<x<1 hat als Lösung -1,0

So erklärt sich die -inf, 0 als Lösung.

Ich hatte fälschlicher Weise angenommen, dass man auf die 0 schon mit dem ersten Fall kommen könnte. Was nicht geht. Aber mit Fall 2 geht es!

Meine Lösungen stimmen nun mit W.alpha überein!

Danke euch!

Answer 2

> Nur der 1 Fall interessiert mich

Im Fall x ≤ -1 ist (-∞; -1] das richtige Ergebnis.

> Wolframalpha sagt, dass -inf, 0] das Lösungsergebnis sei

Und das obwohl z.B. x = -0,5 überhaupt nicht die Bedingung x ≤ -1 erfüllt? Das kann ich mir kaum vorstellen.

Answer 3

$$ |x^2-1| \geq |x+1| \\= \sqrt { (x^2-1)^2 } \geq \sqrt { (x+1)^2 } $$

Jetzt kannst du dir die Radikanten anschauen:

$$ (x^2-1)^2 \geq (x+1)^2 \\ x^4-2x^2+1 \geq x^2+2x+1 \\x^4-3x^2-2x\geq 0$$

Durch Polynomdivision erhältst du:

$$ x\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)\ge \:0$$

Am Ende komme ich insgesamt auf x <= 0 oder x >= 2.