Gegenbeispiel für MWS DR.

Question

Hallo ich habe die Aufgabe :

Meine überlegung :

Ich suche eine Funktion die Stetig aber nicht differenzierbar ist , dh sie müsste Ecken und Kanten aufweisen da solche typischerweise nicht differenzierbar sind . ( siehe |x| an der stelle x=0).

was sagt ihr hierzu : https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Funktion?

Kennt jemand solch eine Funktion?

Comments

a = -1, b = 1, f(x) = |x|.

Answer 1

Einfach, aber genial.

Für beliebige \( a, b \): \( f(x) = |x - \frac{1}{2}(a+b)| \).

Dann ist \( f(a) = | \frac{a}{2} - \frac{b}{2} | = | \frac{b}{2} - \frac{a}{2} | = f(b) \).

Eine stetige Funktion, die auf dem Intervall \( (a, b) \) nicht überall differenzierbar ist und für deren Ableitungsfunktion auf dem verbleibenden Bereich \( f' \) es auch keine stetige Fortsetzung auf das ganze Intervall \( (a, b) \) (im Sinne von übereinstimmenden links- und rechtsseitigen Grenzwerten) gibt, ist ein Lösungskandidat für die Aufgabe, wenn der Quotient \( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \) nicht zum Wertebereich von \( f' \) gehört.

Wenn \( f' \) überall nicht definiert werden kann, ist ihr Wertebereich einfach als leer anzunehmen.

Comments

Hallo danke für deine Antwort , ich hätte eine frage dazu: Brauche ich nicht die Forderung das f(x) auf ganz (a,b) nicht differenzierbar sei ? Weil es darf kein einziges c geben für das dies erfüllt ist .

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> Weil es darf kein einziges c geben für das dies erfüllt ist .

Es gibt kein einziges c, für das dies erfüllt ist. Sei o.B.d.A. a<b. Dann ist f'(x) = 1 falls x> 1/2(a+b) und f'(x) = -1 falls x< 1/2(a+b) und f'(x) ist nicht definiert falls x = 1/2(a+b).

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Außerdem lässt sich \( f' \) in der Umgebung der Stelle \( x_0 = \frac{1}{2}(a + b) \) nicht stetig auf diese fortsetzen.