Anwendung MWS Der DR

Question

Hallo ich habe hier eine Aufgabe zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung ;

Ich kenne den Mws :

Sei f : [a,b] --> ℝ eine Funktion die auf [a,b] mit a<b definiert und stetig und auch differenzierbar auf (a,b) , dann

existiert ein xo∈(a,b) sodass gilt f´(x0)= (f(b)-f(a))/(b-a).

Es gilt auch das |cos(x)|≤1 für alle x∈ℝ.

was mich verwirrt ist : Was ist den meine Abbildungsvorschrift hier x--> auf |cos(x)|? und wenn ja wie leite ich das denn bitte ab?

Kann mir wer helfen bitte? :)

Answer 1

Deine Abbildung ist x -> cosx . Setz das doch mal  in den Mittelwertsatz ein.Dann erhältst Du: -sin(x₀) . (x-y) = cos(x) - cos(y)Jetzt Betrag nehmen und abschätzen.

Comments

Hei danke für das schnelle Antworten , meinst du die Abschätzung dahin gehend wenn man die Grenzen des Intervalles (x,y) einsetzt weil gilt x<x0<y ? Und so etwas wie |sin(x)|≤1 ?

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Genau: für x<x0<y gilt doch, da cos stetig und diffbar auf dem Intervall$$ cos(x)-cos(y)=-sin({ x }_{ 0 })\left( x-y \right) \\ \Longrightarrow \left| cos(x)-cos(y) \right| =\left| -sin({ x }_{ 0 })\left( x-y \right)  \right| =\left| -sin({ x }_{ 0 } \right| \left| \left( x-y \right)  \right| \le \left| \left( x-y \right)  \right|  $$

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Cool danke !

Die letze Abschätzung gilt dann wegen |sin(x0)|=|-sin(x0)|≤1?

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Genauso musst Du es machen !!!!