Aufgabenstellung: Unbestimmtes Integral bestimmen

Question

Ich bin nicht sich ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe bzw. ob mein Ergebnis stimmt.
Bestimmen Sie das folgende unbestimmte Integral:   ∫7⁷x⁶exp(7x)dx

Nun ist ja eine der beiden Funktionen schon abgeleitet laut Formel (7⁷x⁶ oder exp(7x)) und ich meine gehört zu haben das man in einem solchen Fall davon ausgehen soll dass die e-Funktion abgeleitet ist (wieso weiss ich nicht).

Demnach komme ich auf
 ∫7⁷x⁶exp(7x)dx = [7⁶x⁶exp(7x)] - 6*7⁶x⁵exp(7x)
stimmt das?

Und was müsste man machen wenn da zB. sin(7x) statt exp(7x) stehen würde? Woher soll man wissen welche Funktion die abgeleitete ist?

Comments

Hab was vergessen...

∫7⁷x⁶exp(7x)dx = [7⁶x⁶exp(7x)] - ∫6*7⁶x⁵exp(7x)

Der Ausdruck hinter dem minus muss ja ebenfalls integriert werden.

Answer 1

Die 7⁷ könntest du als erstes vors integral ziehen. Bleibt die Stammfunktion von

f(x) = e^7·x·x⁶

nunja. das ist einfach. Wir nehmen

F(x) = e^7·x·(ax⁶ + bx⁵ + cx⁴ + dx³ + ex² + gx + h)

Das leiten wir nun ab

F'(x) = e^7·x·(7·a·x⁶ + x⁵·(6·a + 7·b) + x⁴·(5·b + 7·c) + x³·(4·c + 7·d) + x²·(3·d + 7·e) + x·(2·e + 7·g) + g + 7·h)

Und führen jetzt ein Koeffizientenvergleich durch.

Es ergibt sich

F'(x) = e^7·x·(117649·x⁶ - 100842·x⁵ + 72030·x⁴ - 41160·x³ + 17640·x² - 5040·x + 720)/823543

Das musstest du jetzt noch wieder mit 7⁷ multiplizieren.

Oh wunder wir erhalten die Stammfunktion

y = e^7·x·(117649·x⁶ - 100842·x⁵ + 72030·x⁴ - 41160·x³ + 17640·x² - 5040·x + 720) + C