unbestimmtes integral mit substitutionsregel

Question

Aufgabe:

ich soll folgendes integral bestimmen

$\int\limits_{}^{}$ $\frac{x^3+4x}{(x^2+4)^2}$dx

hab dann ausgeklammert und gekürzt

$\frac{x(x^2+4)}{(x^2+4)^2}$ = $\frac{x}{x^2+4}$

dann subst. t=x²+4 <=> xdx=$\frac{1}{2}$dt

dann hab ich das:

$\int\limits_{}^{}$ $\frac{x}{t}$ • $\frac{1}{2}$dt

aber in der musterlösung steht nicht $\frac{x}{t}$ sondern $\frac{1}{t}$

warum denn das? wieso wird x zu 1? ist das eine allg regel?  

Answer 1

Beim ersten Integral fehlt das dx.

Substitution heißt eine Variable wird vollständig durch eine andere ersetzt.

Also, Du willst substituieren: $t=...$ (irgendwas mit $x$). Daraus folgt (ableiten) $dx=.... dt$. Ersetze damit nun so, dass kein $x$ mehr drin vorkommt, nur noch die neue Variable $t$.

Comments

also t=x und nicht t=x²-4?

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$t=x$ bringt ja nichts. Das ist nur eine Umbenennung, dadurch wird das Integral nicht leichter (aber auch nicht schwieriger).

Sinnvoll ist hier $t=x^2+4$.

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achso habs oben falsch aufgeschrieben aber ich hab ja  t=x²+4 benutzt. dann 2xdx=dt <=> xdx=$\frac{1}{2}$ dt . dann hab ich halt nicht verstanden wieso im zähler das x zu einer 1 wird.

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Es wird kein x zu 1. Das dx muss gemäss Deiner Formel ersetzt werden. Dann kürze und schau was noch da steht.

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$\int\limits_{}^{}$$\frac{x}{t}$•$\frac{1}{2}$dt

dann hab ich doch das hier oder nicht

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Nein, Du hast $\int \frac{x}t\, dx$. Und nun ersetze $dx$ durch $dt$ gemäss Deiner hergeleiteten Formel.

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also wenn ichs richtig verstanden hab 1/2xdt für dt einsetzen. dann hab ich 1/2t. kann ich umschreiben in 1/t * 1/2 und das 1/2 kommt dann vor das integral

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hab 1/2xdt für dt

nein, 1/(2x)dt für dx einsetzen. Denk immer an Klammern. Und achte auf dx und dt.

Das weitere stimmt dann, das ist dann $=\frac12\int \frac1t dt$. Nun ausrechnen und am Ende wieder zurücksubstituieren.

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ich küss dein herz habs verstanden vielen dank

Answer 2

∫ x/(x² + 4) dx

Jetzt ersetzt du

t = x² + 4
1 dt = 2x dx → dx = 1/(2x) dt

Du erhältst also

∫ x/t · 1/(2x) dt = ∫ 1/t · 1/2 dt = 1/2·∫ 1/t dt

Ist das so verständlich?

Comments

muss man hier

1 dt = 2x dx → dx = 1/(2x) dt

das x auch immer auf die rechte seite bringen? bei uns war das immer so, dass x auf der linken seite bliebt also wie bei mir oben xdx=1/2dt

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du möchtest doch im Integral ∫ f(x) dx auch das dx ersetzen. Und daher ist die Ableitung auch nach dx aufzulösen, damit du es ersetzen kannst.

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habs jz verstanden danke dir