unbestimmtes integral mit substitutionsregel

Question

Aufgabe:

ich soll folgendes integral bestimmen

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{x^3+4x}{(x^2+4)^2} \)dx

hab dann ausgeklammert und gekürzt

\( \frac{x(x^2+4)}{(x^2+4)^2} \) = \( \frac{x}{x^2+4} \)

dann subst. t=x²+4 <=> xdx=\( \frac{1}{2} \)dt

dann hab ich das:

\( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{x}{t} \) • \( \frac{1}{2} \)dt

aber in der musterlösung steht nicht \( \frac{x}{t} \) sondern \( \frac{1}{t} \)

warum denn das? wieso wird x zu 1? ist das eine allg regel?  

Answer 1

Beim ersten Integral fehlt das dx.

Substitution heißt eine Variable wird vollständig durch eine andere ersetzt.

Also, Du willst substituieren: \(t=...\) (irgendwas mit \(x\)). Daraus folgt (ableiten) \(dx=.... dt\). Ersetze damit nun so, dass kein \(x\) mehr drin vorkommt, nur noch die neue Variable \(t\).

Comments

also t=x und nicht t=x²-4?

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\(t=x\) bringt ja nichts. Das ist nur eine Umbenennung, dadurch wird das Integral nicht leichter (aber auch nicht schwieriger).

Sinnvoll ist hier \(t=x^2+4\).

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achso habs oben falsch aufgeschrieben aber ich hab ja  t=x²+4 benutzt. dann 2xdx=dt <=> xdx=\( \frac{1}{2} \) dt . dann hab ich halt nicht verstanden wieso im zähler das x zu einer 1 wird.

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Es wird kein x zu 1. Das dx muss gemäss Deiner Formel ersetzt werden. Dann kürze und schau was noch da steht.

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\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{x}{t} \)•\( \frac{1}{2} \)dt

dann hab ich doch das hier oder nicht

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Nein, Du hast \(\int \frac{x}t\, dx\). Und nun ersetze \(dx\) durch \(dt\) gemäss Deiner hergeleiteten Formel.

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also wenn ichs richtig verstanden hab 1/2xdt für dt einsetzen. dann hab ich 1/2t. kann ich umschreiben in 1/t * 1/2 und das 1/2 kommt dann vor das integral

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hab 1/2xdt für dt

nein, 1/(2x)dt für dx einsetzen. Denk immer an Klammern. Und achte auf dx und dt.

Das weitere stimmt dann, das ist dann \(=\frac12\int \frac1t dt\). Nun ausrechnen und am Ende wieder zurücksubstituieren.

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ich küss dein herz habs verstanden vielen dank

Answer 2

∫ x/(x^2 + 4) dx

Jetzt ersetzt du

t = x^2 + 4
1 dt = 2x dx → dx = 1/(2x) dt

Du erhältst also

∫ x/t · 1/(2x) dt = ∫ 1/t · 1/2 dt = 1/2·∫ 1/t dt

Ist das so verständlich?

Comments

muss man hier

1 dt = 2x dx → dx = 1/(2x) dt

das x auch immer auf die rechte seite bringen? bei uns war das immer so, dass x auf der linken seite bliebt also wie bei mir oben xdx=1/2dt

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du möchtest doch im Integral ∫ f(x) dx auch das dx ersetzen. Und daher ist die Ableitung auch nach dx aufzulösen, damit du es ersetzen kannst.

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habs jz verstanden danke dir