Wie wird das Volumen maximal?

Question

Aus einem Kreis mit dem Radius r wird ein symmetrischer Stern ausgeschnitten und die vier Ecken A,B,C,D zur Spitze einer quadratischen Pyramide hochgebogen. Wie groß kann das Volumen der entstehenden Pyramide höchstens werden? Wie groß ist in dem Fall die Pyramidenoberfläche?

Also man hat einen Kreis in dessen Mitte ein Quadrat gezeichnet ist. Die Seiten des Quadrats bilden jeweils die Grundseite der Dreiecke. Die Dreiecke laufen zum Kreis hin spitz zu und haben ihre Spitze bei 0, 90, 180 und 270°.

Ich hab jetzt zuerst das Volumen aufgestellt. V= a^2/3*h

Wie mache ich weiter?

Answer 1

Ist der Radius des Kreises gegeben dann gilt

r = a/2 + h mit h als Seitenhöhe
h = r - a/2

dann noch

(a/2)^2 + k^2 = h^2 mit k als Körperhöhe
k = √(h^2 - a^2/4)

V = 1/3 * a^2 * k = 1/3 * a^2 * √(h^2 - a^2/4) = 1/3 * a^2 * √((r - a/2)^2 - a^2/4)

V = 1/3 * a^2·√(r^2 - a·r)

V' = a·(5·a - 4·r)·√(r·(r - a))/(6·(a - r)) = 0 --> r = 1.25·a

Die Seitenlänge a sollte daher 25% größer sein als der Radius.

Vielleicht bastelst du mal ein paar Exemplare und probierst es aus.