Affine Ebene bestimmen anhand von Gerade und Punkt

Question

sei g Bestimmt durch die Gleichungen:

$$X+2Y+Z=0 ; Y+2Z+3=0$$

1.) Bestimme die affine Ebene E, die g und den Punkt (1,1,1) enthält.

2.) Bestimme die affine Ebene E' die g und parallel zur Geraden g' ist mit:

$$ x= 1+2\lambda ;    y= 2+ \lambda;     z=2$$

Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht weiss, wie ich von $$X+2Y+Z=0 ; Y+2Z+3=0$$ auf die Paramterdarstellung der Gerade komme?

Answer 1

Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht weiss, wie ich auf die Paramterdarstellung der Gerade komme?

Du löst einfach das Gl.syst.

x + 2y + z = 0   und  y + 2z + 3 = 0

löse die 2. nach y auf und setze d bei der 1. ein und hast

x + 2( - 2z - 3) + z = 0   und  y = - 2z - 3

x  - 3z - 6  = 0   und  y  = 0

x =  3z + 6     und  y = - 2z - 3

also alle Lösungen sind

(x;y;z) = (  3z + 6  ;  - 2z - 3   ;  z )

          = ( 6 ; -3 ; 0 )  + z * ( 3 ; -2 ; 1 )  

Das ist die Param.form