Lösen Sie das Anfangswertproblem für y(x) mit y(0) = 1

Question

$$ y' = \frac { 1 }{ y } \cdot (1-e^{-x}) $$

Für y(x) mit y(0) = 1.

Bisher habe ich gerechnet:

$$ \frac { d y(x) }{ dx } = \frac { 1 }{ y(x) } \cdot (1-e^{-x}) $$

$$ \int_{}^{} \frac { d y(x) }{ dx } y(x) dx = \int_{}^{} 1-e^{-x} dx $$

$$ \frac { y(x)^2 }{ 2 } = x + e^{-x} $$

$$ y(x)^2 = 2(x+e^{-x}) $$

$$ y(x) = \sqrt { 2(x+e^{-x}) + c_{1} } \vee y(x) = -\sqrt { 2(x+e^{-x}) + c_{2} } $$

Bis hierhin so richtig?

Was mache ich dann? y(0) = 1 und nach c₁ und c₂ auflösen?

Für c₁ erhalte ich -1 und für c₂ keine Lösung.

Also wäre die Antwort:

$$ y(x) = \sqrt { 2(x+e^{-x}) -1 } $$

Richtig?

Answer 1

deine Rechnungen sind richtig.

In der drittletzten Zeile müsste schon + c stehen, und ich sehe rechnerisch keinen Grund, c₁ und c₂ zu unterscheiden.

Bei den Wurzeln sollte man die Einschränkungen  für c angeben.

Gruß Wolfgang