Welche Bedeutung haben die Nullstellen von f' für den graph f

Question

kann mir bitte jemand bei der Beantwortung  der frage helfen

f (x)= x^2 (x -3)

f'(x) = 3x^2 - 6x

 Welche Bedeutung haben die Nullstellen  von f' für  den Graph von f ?

Comments

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe vollständig verstehe und kenne auch deinen bisherigen Wissensstand nicht, von daher würde ich sagen: Eine Nullstelle ist der Wert an welchem der Graph die X-Achse berührt. Die Nullstelle errechnest du, indem du ein x findest, für das gilt: f(x)=0

Edit. Ich sehe gerade, dass wir von der Nullstellen an f' reden. Diese Nullstellen haben die Bedeutung, dass f an dieser Stelle seine Extremstellen hat

Answer 1

Hallo Samira,

die Nullstellen von f ' sind für eine Funktion die möglichen (lokalen) Extremstellen.

Ob an diesen Stellen tatsächlich ein Extremum vorliegt, kann man auf zwei Arten prüfen.

1)  Man hat dort einen Hochpunkt (Tiefpunkt), wenn f ' dort das Vorzeichen 

         von + → -  ( - → +) wechselt.         Wenn nicht, hat man dort einen Sattelpunkt.

2)  Wenn man eine errechnete Nullstelle x₀  von f ' in f '' einsetzt, hat man einen Hochpunkt (Tiefpunkt), wenn sich  f ''(x₀) < 0  (  f ''(x₀) >0 ) ergibt. Für f ''(x₀) = 0  bleibt die Frage leider unklar.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Bei den Nullstellen der ersten Ableitung hat die Funktion eine lokale Extremstelle.

Comments

Das gilt bei den in der Aufgabe gegebenen Funktionen, aber nicht allgemein (vgl. meine Antwort)