Bei der ersten Reihe kannst du soviel umschreiben wie du
willst, das ist keine geo. Reihe.
Der 1. Summand ist 2 der 2. auch aber der 3. 4/3
also sind die Quotienten aufeinanderfolgender Summanden nicht gleich,
also keine geo. Reihe.
Aber wenn es um Konvergenz geht, dann schau mal dort:
https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition
Das ist deine Reihe für x=2 und ohne den Summanden für n=0.
Also ist der Grenzwert deiner Reihe e^2 - 1 .