Umschreiben zu einer geometrischen Reihe

Question

$$ \sum _{n=1}^{\infty \:}  \frac{2^n}{n!}  $$

Wie schreibe ich das um zu einer geometrischen Reihe?

Ich muss ja den 0. Summanden berechnen: 1 und dann davon abziehen. Der Index ändert sich dann. Und was ist mit den Variablen im obigen Ausdruck?

Oder hier:

$$ \sum _{n=1}^{\infty \:} \left( \frac{n-1}{2n} \right) ^n $$

Comments

Wie kommst du darauf, dass du geometrische Reihen vorliegen hast?

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Ich musste zeigen, dass die Reihen konvergieren (tun sie) und dann den Grenzwert berechnen. Also müsste ich diese Reihen dann umschreiben, um den Grenzwert zu berechnen, oder nicht?

Answer 1

Bei der ersten Reihe kannst du soviel umschreiben wie du

willst, das ist keine geo. Reihe.

Der 1. Summand ist 2 der 2. auch aber der 3. 4/3

also sind die Quotienten aufeinanderfolgender Summanden nicht gleich,

also keine geo. Reihe.

Aber wenn es um Konvergenz geht, dann schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Definition

Das ist deine Reihe für x=2 und ohne den Summanden für n=0.

Also ist der Grenzwert deiner Reihe e^2 - 1 .