Mein Problem ist, dass ich nicht weiß was die Ableitung von
Wurzel x und 1 / x ist.
Beide Ableitungen können über die Potenzregel gefunden werden.
Potenzregel :
( xa ) ´ = a * xa-1
√ x Umformung zu x1/2
[ x1/2 ] ´ = 1/2 * x1/2-1 =
1/2 * x-1/2 = 1/2 * 1/x1/2
1/2 * 1 / √ x
1 / x = x-1
[ x-1 ] ´ = -1 * x-1-1 = - x-2
- 1 / x2
Gegeben sind die Funktionen f (x) = √x und g (x)= 1/x
f ´( x ) = 1/2 * 1 / √ x
g ´ ( x ) = - 1 / x2
a ) wie lautet die Gleichung der Tangente von f und g im Schnittpunkt der beiden Graphen?
Schnittpunkt
f ( x ) = g ( x )
√x = 1/x | quadrieren
x = 1 / x2
x3 = 1
x = 1
Tangente von f
f ´( 1 ) = 1/2 * 1 / √ 1
f ´( 1 ) = 1/2
Funktionswert im Schnittpunkt
f ( 1 ) = 1
Tangentengleichung
y = m * x + b
1 = 1/2 * 1 + b
b = 1/2
tf ( x ) = 1/2 * x + 1/2
Tangente von g
tg ( x ) = -x + 2
b) unter welchem Winkel schneiden sich und g?
Winkel tf = arctan(1/2) = 26.57 °
Winkel tg = arctan(-1) = -45 °
Differenz : 71.57 °
An welcher Stelle x hat f die Steigung 1?
f ´( x ) = 1/2 * 1 / √ x = 1
1/2 * 1 / √ x = 1
1/2 * 1 = √ x
1/4 = x
x = 1/ 4
Plotlux öffnen f1(x) = √(x)f2(x) = 1/xZoom: x(0…5) y(0…3)
Plotlux öffnen f1(x) = 1/2·x +1/2f2(x) = -x+2Zoom: x(0…5) y(0…3)