f (x) = √x und g (x)= 1/x analysis

Question

Ich konnte diese Aufgabe nicht lösen  und würden mich freuen wenn mir jemand dabei helfen kann. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß was die Ableitung von Wurzel x und 1 /x ist.

Gegeben sind die Funktionen  f (x) = √x und g (x)= 1/x 

a ) wie lautet die Gleichung der Tangente von f und g im Schnittpunkt der beiden Graphen?  

b) unter welchem Winkel schneiden sich und g?

An welcher Stelle x hat f die Steigung  1?

Danke:)

Answer 1

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß was die Ableitung von
Wurzel x und 1 / x ist.

Beide Ableitungen können über die Potenzregel gefunden werden.
Potenzregel :
( x^a ) ´ = a * x^{a-1}

√ x Umformung zu x^{1/2}
[ x^{1/2} ] ´ = 1/2 * x^{1/2-1} =
1/2 * x^{-1/2} = 1/2 * 1/x^{1/2}
1/2 * 1 / √ x

1 / x = x^{-1 }
[ x^{-1} ] ´ = -1 * x^{-1-1} = - x^{-2}
- 1 / x^2

Gegeben sind die Funktionen  f (x) = √x und g (x)= 1/x
f ´( x ) =  1/2 * 1 / √ x
g ´ ( x ) =  - 1 / x^2

a ) wie lautet die Gleichung der Tangente von f und g im Schnittpunkt der beiden Graphen?  

Schnittpunkt

f ( x ) = g ( x )
 √x = 1/x  | quadrieren
x = 1 / x^2
x^3 = 1
x = 1

Tangente von f
f ´( 1 ) =  1/2 * 1 / √ 1
f ´( 1 ) =  1/2
Funktionswert im Schnittpunkt
f ( 1 ) = 1
Tangentengleichung
y = m * x + b
1 = 1/2 * 1 + b
b = 1/2
tf ( x ) = 1/2 * x  + 1/2

Tangente von g
tg ( x ) = -x + 2

b) unter welchem Winkel schneiden sich und g?

Winkel tf = arctan(1/2) = 26.57 °
Winkel tg = arctan(-1) = -45 °

Differenz : 71.57 °

An welcher Stelle x hat f die Steigung  1?

f ´( x ) = 1/2 * 1 / √ x = 1
1/2 * 1 / √ x = 1
1/2 * 1 = √ x
1/4 = x
x = 1/ 4

~plot~ sqrt(x); 1/x ; [[ 0 | 5 | 0 | 3 ]] ~plot~

~plot~  1/2 * x  + 1/2 ; -x + 2 ; [[0|5|0|3]] ~plot~

Answer 2

Gegeben sind die Funktionen  f (x) = √x und g (x)= 1/x 

a ) wie lautet die Gleichung der Tangente von f und g im Schnittpunkt der beiden Graphen?  

f(x) = g(x)

√x = 1/x

x = 1/x^2

x^3 = 1

x = 1

tf(x) = f'(1)·(x - 1) + f(1) = 0.5·x + 0.5

tg(x) = g'(1)·(x - 1) + g(1) = 2 - x

b) unter welchem Winkel schneiden sich und g?

atan(0.5) - atan(-1) = 71.57°

An welcher Stelle x hat f die Steigung  1?

f'(x) = 1/(2·√x) = 1 --> x = 1/4