Straßeneinmündung Analysis

Question

Straßeneinmündung

Die nördliche Umgehungsstraße einer Kleinstadt verläuft in der Modellierung längs des Graphen der quadratischen Funktion f mit f(x) = x^2- 2x + 2.  Eine von Süden kommende Straße soll längs des Graphen einer b so verlaufen Funktion g(x)= a (x-4)^2 so verlaufen, dass beide Straßen im Punkt P(2/2)  ohne Knick zusammenstoßen.

Wie müssen die Parameter a und b gewählt werden?

Wie lautet die gleichung der gemeinsamen tangente an die graohen von f und g in punkt P?

f (x) = g (x)

x^2 - 2x  + 2 = a (x^2 - 8x + 16) + b

b= x^2 - 2x + 2 - a (x^2 - 8x +6) ->  in f (x) setzen und gleich 0 setzdn

a= 0,47

g (x) = 0,47* (x-4)^2 + 0,12

TANGENTE:

f'(2) = 2 -> m

t (x) 2x + n     P (2/2)

t(x)= 2x -2

Danke:)

Answer 1

f(2) = g(2) --> 2 = 4·a + b

f'(2) = g'(2) --> 2 = - 4·a

Man löse das Gleichungssystem und erhält: a = -0.5 ∧ b = 4

g(x) = - 1/2·(x - 4)^2 + 4

Skizze

~plot~x^2-2*x+2;-1/2*(x-4)^2+4;{2|2}~plot~

Comments

Bleibt nur noch zu bestätigen, dass deine Tangentengleichung richtig ist.

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Die Tangentengleichung kann ich bestätigen.

t(x) = f'(2) * (x - 2) + f(2) = 2·x - 2

Die Parameter a und b sollte Samira aber nochmal probieren auszurechnen.

Answer 2

Solche Aufgaben, in denen der Graph einer Polynomfunktion "ohne Knick" (also tangential) in eine Gerade übergeht, werden immer wieder gestellt. Straßenbautechnisch ist das großer Blödsinn, denn auf dem Grapen der Polynomfunktion ist die Krümmung ≠ 0 und auf der Geraden ist die Krümmung = 0. Das wird der Autofahrer im Lenkrad spüren und möglicherweise verunglücken.