Analysis mit Parametern

Question

Aufgabe:

Durch die Gleichung f_t (x)= x² +tx-t (xeR; teR) ist eine Schar von funktionen f_t gegeben.

a) Bestimmen sie Anzahl der Nullstellen in abhängigkeit vo t

b) Ermitteln sie die Koordinaten des Minimumpunktes

c)Zeigen Sie, dass sich alle Grafen der Funktionsschar in einem Punkt schneiden, geben sie diesen an.

d) Ermitteln Sie die Werte t, für die der Graph die x-Achse berührt

e) Ermitteln sie die Gleichung der Ortskurve der Minimumpunkte

Answer 1

Durch die Gleichung ft(x) = x^2 + t·x - t (xeR; teR) ist eine Schar von funktionen ft gegeben.

a) Bestimmen sie Anzahl der Nullstellen in abhängigkeit vo t

t^2 + 4·t > 0 → zwei Nullstellen für t < -4 ∨ t > 0
eine Nullstellen für t = -4 ∨ t = 0
keine Nullstelle -4 < t < 0

b) Ermitteln sie die Koordinaten des Minimumpunktes

f'(t) = 2·x + t = 0 --> x = - t/2
f(- t/2) = - t^2/4 - t → TP(- t/2 | - t^2/4 - t)

c) Zeigen Sie, dass sich alle Grafen der Funktionsschar in einem Punkt schneiden, geben sie diesen an.

x^2 + a·x - a = x^2 + b·x - b --> x = 1

f(1) = 1 → S(1 | 1)

d) Ermitteln Sie die Werte t, für die der Graph die x-Achse berührt

eine Nullstellen für t = -4 ∨ t = 0

e) Ermitteln sie die Gleichung der Ortskurve der Minimumpunkte

f'(t) = 2·x + t = 0 --> t = - 2·x

y = x^2 + (- 2·x)·x - (- 2·x) = 2·x - x^2

Comments

Wie ekommt man auf das Ergebnis bei d)?

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Lies nochmal die Aufgabe a) durch und frage dich warum ich hier nur die ein Teil der Lösung kopiert habe.

Answer 2

Nullstellen x=\( \frac{t±\sqrt{t(t+4)}}{2} \) .

Term unter der Wurzel entscheidet über die Anzahl der Nullstellen.

Answer 3

a) Was hindert dich daran, die pq-Formel anzuwenden (und den entstehenden Ausdruck intensiv zu betrachten)?

b) Was hindert dich daran,

- die erste Ableitung zu bilden und Null zu setzen

ODER
- die Formel für den Scheitelpunkt einer Normalparabel anzuwenden?

c) Wähle dir zwei konkrete Funktionen der Schar (z.B. mit t=0 und mit t=1) aus und berechne deren Schnittpunkt.

Zeige dann durch Einsetzen, dass dieser Punkt ALLEN Funktionen der Schar angehört.

Da hast du erst mal zu tun und bekommst in Auswertung von c) ganz nebenbei das Ergebnis von d).

PS: Ich habe es befürchtet, dass diese Anregungen sinnlos sind.

Wenn gewisse Leute zeitgleich online sind, hagelt es Ergebnisse...

Comments

Danke, das habe ich auch gemacht. Ich wollte lediglich meine Werte abgleichen, da ich keine Lösungen hatte.

Die Anregungen waren nicht sinnlos :)