globales Minimum / Maximum von f(x)= x^4-2x^3-0,5x^2+2x-2 wenn x ∈ ⟨-2;3⟩

Question

Gegeben ist die Funktion f(x)= x⁴-2x³-0,5x²+2x-2. Bestimme das globale Minimum und das globale Maximum, wenn x ∈ ⟨-2;3⟩

Comments

x ∈ ⟨-2;3⟩

Warum die spitzen Klammern um das Intervall (?). 

Ist es offen oder abgeschlossen? 

Answer 1

f ' (x) = 4x^3-6x^2-x+2 = 0

gibt mit CAS   x=1,4304  oder x=0,6271 oder  x = - 0,5575 

Die liegen alle in dem betrachteteten Intervall.

f ' ' (x) = 12x^2 - 12x - 1

f ' ' ( 1,4304 ) = 6,4 > 0 also lok. Min bei x= 1,4

f ' ' ( 0,6271 ) = -3,8  < 0 also lok. Max bei x= 0,6

f ' ' ( - 0,5575  ) = 9,4  > 0 also lok. Min bei x= - 0, 56

Vergleich der Extrema mit den Randwerten :

f ( 1,4304 ) = -1,83

f  ( 0,6271 ) = -1,28

f  ( - 0,5575  ) = -2,83

f(-2) = 24

f(3) = 26,5

also abs Max am rechten Rand

abs Min bei x=-0,5575

Comments

Was bedeutet CAS?

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Answer 2

f(x)= x⁴-2x³-0,5x²+2x-2

f ´( x ) = 4 * x^3 - 6 * x^2 - x + 2

4 * x^3 - 6 * x^2 - x + 2 = 0

Eine Nullpunkt läßt sich raten x = 2
Ein weiterer Nullpunkt befindet sich etwa bei x = -1.165...

~plot~ x^4 - 2 * x^3 - 0.5 * x^2 + 2*x -2 ~plot~

Comments

Ohje, da habe ich fälschlicherweise
die Nullstellen der Funktion berechnet.
Minimum und Maximum kommen gleich.

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Wie auf dem Graph zu sehen ist das globale Maximum entweder bei
x = -2 => 24
x = 3  => 26.5

Also ( 3 | 26.5 )

Das globale Minimum läßt sich wohl nur über ein Näherungsverfahren
wie Newton berechnen. Abgelesen ( -0.58 | -2.83 )

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Also

Wegen ( 3 | 26.5 ) ist 26.5 das globale Maximum auf dem gegebenen (als abgeschlossen angenommenen) Intervall.

Das globale Minimum läßt sich wohl nur über ein Näherungsverfahren 
wie Newton berechnen. Abgelesen an der Stelle -0.58 ist das globale Minimum -2.83 .

Answer 3

Zunächst verschafft man sich auf den GTR einen Überblick über der Verlauf des Graphen. Dann sieht man, dass das globale Minimum ungefähr bei x ≈ - 0,5 liegt (genaueres mit dem GTR). Das globale Maximum auf dem Intervall [-2;3] ist der Funktionswert an der Stelle x = 3.