Aus der Urne wird dreimal eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen (mehrstufige Zufallsversuche/Baumdiagramme)

Question

Aufgabe:

Mehrstufige Zufallsversuche/Baumdiagramme

In einer Urne befinden sich 10 blaue (B), 8 grüne (G) und 2 (R) rote Kugeln.

a) Aus der Urne wird dreimal eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

A: "Es kommt die Zugfolge RBG."
B: "Jede Farbe tritt genau einmal auf."
C: "Alle gezogenen Kugeln sind gleichfarbig."
D: "Mindestens zwei der Kugeln sind blau."

b) Aus der Urne wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 3 blaue Kugeln dabei?

Answer 1

a) Wahrscheinlichkeit für die Zugfolge RBG

P (1. Kugel rot) = 2/20

P (2. Kugel blau) = 10/19 | Jetzt waren ja nur noch 19 Kugeln in der Urne

P (3. Kugel grün) = 8/18 | ... und jetzt nur noch 18

Die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades muss man miteinander multiplizieren, um die Wahrscheinlichkeit
einer Folge zu erhalten, also

P (RBG) = 2/20 * 10/19 * 8/18 ≈ 0,0234 = 2,34%


b) Wahrscheinlichkeit, dass jede Farbe genau einmal auftritt

Nehmen wir zum Beispiel die Folge GBR

P (1. Kugel grün) = 8/20

P (2. Kugel blau) = 10/19

P (3. Kugel rot) = 2/18

P (GBR) = 8/20 * 10/19 * 2/18 ≈ 0,0234 = 2,34%

Es gibt insgesamt 3! = 6 mögliche Reihenfolgen, in denen jede Farbe genau einmal auftritt:
RBG, RGB

BRG, BGR

GRB, GBR

Die Wahrscheinlichkeiten werden jetzt addiert, da sie in einem Baumdiagramm ja ganz links stehen:
6 * 0,0234 = 0,1404 = 14,04%

Comments

Ich bedanke mich bei Ihnen vielmals !!

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"da sie in einem Baumdiagramm ja ganz rechts stehen" muss es heißen :-)

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Also wenn es 3 Farben gibt dann sind es 6 rheinfolgemoglichkeiten.bei 4 wären es dann 8 ? Bei 2 dann4 ?

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Die Anzahl der möglichen Reihenfolgen beträgt im Allgemeinen n!, wenn man n Elemente hat:


1 Element: 1! = 1 | Natürlich nur eine mögliche Reihenfolge

2 Elemente: 2! = 2 * 1 | Zwei Reihenfolgen: (1|2) und (2|1)

3 Elemente: 3! = 3 * 2 * 1 | Sechs Reihenfolgen: (1|2|3), (1|3|2), (2|1|3), (2|3|1), (3|1|2), (3|2|1)

4 Elemente: 4! = 4 * 3 * 2 * 1

5 Elemente: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

6 Elemente: 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

usw.

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Also gibt es bei 5 120 verschiedenen rheinfolgemoglichkeiten und ichmuss dann am schluss mal 120 rechnen ?

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Bei der Aufgabe a) oben musste man natürlich berücksichtigen, dass sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn man nicht zurücklegt, für jede Kugel natürlich im Laufe der Ziehungen verändern.
Wenn man aber zurücklegt oder einfach nur 5 Farben hat (z.B. blau, grün, weiß, rot und gelb), dann gibt es, genau wie Du geschrieben hast,

5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 mögliche Reihenfolgen.

Und wenn eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für 5 Kugeln verschiedener Farbe gegeben ist, dann müsste man diese W. auch, um die Anzahl der Reihenfolgen zu berücksichtigen, mit 120 multiplizieren, richtig.

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Wenn ichbei Ohne zurücklegen beachte immer eins weniger für n kann ich doch man scluss auch mal 120 ?

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Ja richtig!

Wenn die Einzelwahrscheinlichkeit für zum Beispiel (blau | grün | weiß | rot | gelb) genauso groß ist wie zum Beispiel für (grün | blau | weiß | gelb | rot), dann gibt es wie gesagt 120 mögliche Reihenfolgen, und Du musst die Einzelwahrscheinlichkeit mit 120 multiplizieren.