Stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion

Question

$$ f(x) = \frac { sin(x)-sin(2x) }{ e^x-1 } $$

D = R \ {0}

Nun soll ich die Funktion an der Stelle x₀ = 0 auf stetige Fortsetzbarkeit prüfen und ggf. eine stetige Fortsetzung von f angeben.

Ich habe die Funktion zeichnen lassen und gesehen, dass linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert (-1) übereinstimmen. Wie löse ich das aber ohne Hilfe? Wie muss ich hier vorgehen?

Answer 1

lim_x→0  [  (sin(x) - sin(2x) ) / ( e^x -1 ) ]    [ = " 0/0 " ]

in Zähler und Nenner ableiten:

 = lim_x→0  [  (cos(x) - 2 • cos (2x) ) /  e^x ]   =  -1   ( Regel von de Hospital ]

wenn man also   f(0) = -1 zusätzlich definiert, hat man die Funktion "stetig fortgesetzt" .

Gruß Wolfgang

Comments

So einfach... Ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. :p

Answer 2

Alternativ kannst du auch die Reihendarstellungen des Sinus und der Exponentialfunktion benutzen.