Orthogonalisierungsverfahren von Schmidt

Question

Schönen Vormittag!

Habe folgende Angabe:

Es ist b₁,..., b_n eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraumes V. Rechnen Sie nach, dass die folgenden definierten Vektoren a₁,..., a_n eine Orthonormalbasis von V bilden:
$$ { a }_{ 1 }=\frac { { b }_{ 1 } }{ \left\| { b }_{ 1 } \right\|  } \quad und\quad { a }_{ k }=\frac { { d }_{ k } }{ \left\| { d }_{ k } \right\|  }  $$
wobei

d _k = b_k - ( <b_k,a₁> *a₁ +...+ <b_k,a_k-1> *a_k-1 )

Wie gehe ich hier vor?

LG

Answer 1

offenbar  hat  a1 die Länge 1.
und wenn du dann a2 betrachtest

a2 = b2    -  <b₂,a₁> *a₁  
Dann rechne mal aus, indem du
die Rechenregeln für das Skalarprod. anwendest ,
 ob < 1, a2 > wirklich = 0 ist :

< a1, a2 > = < a1 ,   b2    -  <b₂,a₁> *a1   >
                 = < a1 ,b2 >  -  < a1 , <b₂,a₁> *a1   >
                  = < a1 ,b2 >  -  <b₂,a₁>  *  < a1 , a1   >
                 = < a1 ,b2 >  -  <b₂,a₁>  *  1
                 = 0     Passt also 

Dann musst du noch  Länge von a2 = 1 zeigen, dass ist aber
ja klar.

Jetzt nimm mal einen 3.   b3 dazu und du siehst auch
hier ist dann  <a1,a2> = < a1 ; a3 >  = < a2, a3> = 0
d.h. alle stehen senkrecht aufeinander und die
Längen sind auch alle = 1   etc.

Comments

Wie kommst du auf das hier?

a2 = b2    -  <b₂,a₁> *a₁   

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gegeben war

d _k = b_k - ( <b_k,a₁> *a₁ +...+ <b_k,a_k-1> *a_k-1 )

also

d ₂ = b₂ - <b₂,a₁> *a₁  

also hätte ich statt a₂ besser d₂ geschrieben.

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Ok, alles klar danke! :-)