Approximieren von log durch rationale Zahl

Question

Approximiere die log(3/2) durch eine rationale Zahl, wobei die Abweichung vom wahren Wert maximal 1/24 betragen darf.

Ich habe mir überlegt es mit dem log(x+1) und der Taylorreihe zu machen, aber bis zu welcher Ordnung muss ich entwickeln?

Answer 1

Zum Leibniz-Kriterium gehoert eine Abschaetzung für den Abbruchfehler. Passt hier prima: ln 3/2 = 1/2 - 1/8 + 1/24 -+ ...

Comments

Bis zu welcher Ordnung muss ich aber mit der Taylorformel entwickeln?

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Die Reihe für den Logarithmus ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 -+ ... ist auswendig zu wissen. Wann man abbrechen kann, ergibt sich wie bereits gesagt.

Answer 2

log(3/2)=sum -(-1/2)^k/k,k=1...∞

Statt "Ordnung" sage ich lieber Glied (oder Summand oder Term).

Da diese Reihe alternierend (Vorzeichenwechsel) ist und schnell konvergiert, reicht bis zu einem Term auszusummieren, bis dieser <= der Abweichung ist.

Der Iterationsrechner zeigt das schön tabellarisch:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Na=log(3/2);@C0]=@B0]=0;i=1;b=1/24;IM=1;aD[0]=1;@N@Bi]=-@P-1/2,i)/i;@Ci]=@Ci-1]+@Bi];aD[i]=@Aa-@Ci]);@N@Bi]%3C=b@N1@N0@N#

i=Index  |  aB[i] = Terme  | aC = Teilsumme  |  aD Abweichung zum Idealwert

Comments

Heisst das man muss hier ein Taylor Polynom dritten Grades berechnen?

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Ja, Index i bleibt bei Erfüllung der Abruchbedingung aB[i]<=b

bei i=3 stehen und pow(...,i) bedeutet somit "hoch 3" , was man als Polynom 3. Grades bezeichnen kann.

Das ist hier aber nur zufällig so einfach. Allgemeiner (universeller) ist die Abbruchbedingung genau zu untersuchen.

Bei sehr langen Reihen (langsame Konvergenz oder große gewünschte Genauigkeit) ist ein Überschlag ratsam:

(1/2)^n/n=1/24 siehe http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

n = (LambertW(24 log(2)))/(log(2))

n=3

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aber sollte nicht schon bei i=2 abgebrochen werden? 0.0304... is doch kleiner als die Abbruchbedingung 0.0416... ?

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Nein, Spalte aD zeigt doch die Abweichung zum idealen Endwert, der vor und während der Berechnungen noch nicht bekannt ist!

zu "...0.0304... kleiner als die Abbruchbedingung..." -> natürlich kann es einige wenige Lehrer geben, denen solch extrem stark gerundeten Werte ausreichen und die davon ausgehen, dass der Endwert absolut bekannt ist (weil ja jeder einen perfekten Rechner hat)

Die Wirklichkeit und die Herangehensweise von Wissenschaftlern sieht anders aus:

- viele Taschenrechner rechnen oft gerade mal 4 Nachkommastellen richtig (wissenschaftlich unbrauchbar)

( http://www.gerdlamprecht.de/GrobeFPU_Fehler.htm  )

- meist ist der wirkliche Endwert nicht bekannt (ich kann Dir zig Summen und Produkte Nennen, die nur per hypergeometrischen Funktionen oder anders kompliziert berechenbar sind)

- oft ist die Konvergenzgeschwindigkeit zu langsam (diese hier {3 Schritte für 1 richtige Nachkommastelle} ist auch relativ langsam), d.h. die Zwischensumme schwankt noch zu stark

- keine der unter https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel beschriebenen Restgliedabschätzungen für Abschätzung der Abbruchbedingung gehen davon aus, dass das Endergebnis schon bekannt ist!

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium