Mit der geom. Reihe bekommst du es sogar noch einfacher hin:
Die Ableitung f ' (z) war ja f ' (z) = 1 / ( z-6 )
Du hast eine Formel für 1 / ( 1-x) also formst du ein wenig um:
1 / ( z-6 ) = (1/6) * 1 / ( (z/6) - 1 )
= ( - 1/6) * 1 / ( 1 - (z/6) )
Das rote bekommst du mit deiner Summenformel für die
geom. Reihe, wenn du x = z/6 setzt.
Und mit dem Faktor (-1/6) bekommst du das Ergebnis
vom Mathecoach.
Integrieren gibt dann
Summe n=0 bis oo über -6 -n-1 * z n+1 / (n+1)
oder mit n=1 beginnen
Summe n=1 bis oo über -6 -n * z n / n
Das ist aber nun irgendeine Stammfunktion von f ' (x) .
In diesem Fall f(x) = ln( 1 - x/6 ) .
Die unterscheidet sich von der gesuchten Funktion um den Faktor 2
im Inneren des ln also machst du daraus
ln( 2 - x/3 ) = ln( 2*( 1 - x/6 ) ) = ln(2) + ln( 2 - x/3 )
also ist die gesuchte Reihe
ln(2) + Summe n=1 bis oo über -6 -n * z n / n