Reihendarstellung einer Funktion herleiten

Question

diese Aufgabe war bei unserer letzten Klausur dran - leider habe ich sie bis heute nicht verstanden:

Folgende Funktion ist gegeben: f(z) = ln ( 2 - z/3 )

Die Aufgabenstellung war:

"Leiten Sie eine Reihendarstellung für f her, indem Sie zuerst die Reihendarstellung für f'(z) ermitteln."

Wie macht man das? Wir hatten sowas vorher nie in den Übungen/Hausaufgaben.

Besten Dank schonmal!

Answer 1

Mit der geom. Reihe bekommst du es sogar noch einfacher hin:

Die Ableitung f ' (z) war ja   f ' (z)  = 1 / ( z-6 )

Du hast eine Formel für 1 / ( 1-x) also formst du ein wenig um:

1 / ( z-6 ) =     (1/6) *   1 / (  (z/6) - 1 )

              =      ( - 1/6) *   1 / ( 1  -   (z/6)  )

Das rote bekommst du mit deiner Summenformel für die

geom. Reihe, wenn du  x =  z/6   setzt.

Und mit dem Faktor  (-1/6) bekommst du das Ergebnis

vom Mathecoach.

Integrieren gibt dann 

Summe n=0 bis oo über  -6 ^-n-1 * z ⁿ⁺¹ / (n+1)

oder mit n=1 beginnen

Summe n=1 bis oo über  -6 ^-n * z ⁿ / n

Das ist aber nun irgendeine Stammfunktion von f ' (x) .

In diesem Fall    f(x) = ln(  1  -  x/6  )  .

Die unterscheidet sich von der gesuchten Funktion um den Faktor 2

im Inneren des ln also machst du daraus

ln(  2  -  x/3  )  =    ln(   2*(  1  -  x/6  )  ) = ln(2) + ln(  2  -  x/3  )

also ist die gesuchte Reihe

ln(2) + Summe n=1 bis oo über  -6 ^-n * z ⁿ / n

Comments

Ich hätte nochmal eine Frage.

"Und mit dem Faktor  (-1/6) bekommst du das Ergebnis vom Mathecoach."

Bis hierhin ist alles klar.

Aber wie komme ich dann von der Formel vom Mathecoach (- 6^{-n - 1}·zⁿ) auf  -6 ^-n-1 * z ⁿ⁺¹ / (n+1)  ?

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Das erste war ja die Reihe für f ' (z) .

wenn du das integrierst wird aus dem

Summanden   - 6^{-n - 1}·zⁿ  ja der Summand

 -6 ^-n-1 * z ⁿ⁺¹ / (n+1)  denn das   - 6^{-n - 1} ist ja ein konstanter Faktor,

der bleibt erhalten und aus z^n wird  1/(n+1) * zⁿ⁺¹  .

Answer 2

Ist das nicht wie folgt:

f(z) = LN(2 - z/3)

f'(z) = 1/(z - 6)

f'(z) = ∑ (n = 0 bis ∞) (- 6^{-n - 1}·z^n)

Das müsste doch eventuell jetzt nur noch integriert werden.

Comments

 
Aber wie kommt man von der Ableitung auf die Reihendarstellung bzw. wie würde ich von der Reihendarstellung auf die Ableitung kommen?

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Kannst du grundsätzlich ein Taylorpolynom aufstellen ?

T(x) = f(x) + f'(x)/1!·x^1 + f''(x)/2!·x^2 + f'''(x)/3!·x^3 + ...

Probier das mal. Dazu brauchst du in diesem Fall auch einen allgemeinen Term für die n. Ableitung.

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Also Taylor-Polynome sind kein Problem (eigentlich).

Trotzdem wüsste ich hier jetzt nicht so wirklich was ich  machen soll.

Taylor-Polynom mit der Ursprungsfunktion, der 1. Ableitung und dann noch + dem allgemeinen Term für die n-te Ableitung aufstellen? Aber man soll ja laut Aufgabenstellung die Reihendarstellung erstmal nur für die erste Ableitung ermitteln.

In unserer Formelsammlung findet sich folgende Tabelle zu Reihenentwicklungen:

kann man die hier eventuell gebrauchen?

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Aber man soll ja laut Aufgabenstellung die Reihendarstellung erstmal nur für die erste Ableitung ermitteln.

Ja also solltest du mal die erste Ableitung machen. Was hast du dort heraus.

Und dann schau mal ob dich diese Funktion an eine aus der Liste erinnert. Welche ist das und wie lautet dann deine Reihendarstellung. Eigentlich brauchst du dann doch nur ablesen.

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Stimmt tatsächlich! Eigentlich gar nicht schwer... vielen Dank!