Summe berechnen (2/4^n) von n=1 bis unendlich

Question

wenn die Summe ∑ (n=1 bis ∞) (2/4ⁿ) berechnet werden soll, was schreibt man dann am besten als Antwort hin?

Sowas wie: (2/4¹) + (2/4²) + (2/4³) + (2/4⁴) + ... + (2/4ⁿ)

oder muss man hier mit dem Limes arbeiten!

!!

Answer 1

∑ (n=1 bis ∞) (2/4ⁿ)

= 2∑ (n=1 bis ∞) (1/4ⁿ)

= 2* ∑ (n=1 bis ∞) (1/4)^n 

und nun mit der Formel für geometrische Reihen arbeiten.

Beachte, dass der erste Summand a_(1)= 1/4 ist und zudem q = 1/4 . 

Answer 2

Hi,
das ist eine geometrische Reihe
$$ \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{4^n} = 2 \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{4} \right)^n = 2 \left( \frac{1}{1-\frac{1}{4}} - 1 \right) = \frac{2}{3}  $$