Goniometrische Gleichung. 2*sin(x) -3*cos(x)= 1,57

Question

 Hilfe bei Auflösung

Hii Leute,

Könntet ihr mir bitte bei der Auflösung dieser Goniometrischen Gleichung helfen.

2*sin(x) -3*cos(x)= 1,57

Die Lösungsmenge müsste sein: L={82,1°; 97,9° ; 210,5°}

Ciao Mister M

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Eine Grafik, eine Grafik. Ein Königreich für eine Grafik.

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Ersetze zuerst:

cos(x) = ± √(1 - sin^2(x))            

Substituiere dann sin(x) = u.

So kommst du auf quadratische Gleichungen  (2 Fälle) .

Rücksubstitution nicht vergessen. 

Am Schluss allfällige Scheinlösungen streichen. 

Answer 1

2*sin(x) - 3*cos(x)= 1,57

2*sin(x) -3 * √( 1 -sin²(x) ) = 1,57

3 * √( 1 -sin²(x) )  = 2*sin(x) - 1,75 

Setze z = sin(x)

3 • √(1-z²) = 2z - 1,75

Quadrieren, alles auf eine Seite = 0, mit  pq-Formel nach z auflösen:

→ z ≈  0,9905650487  (Probe wegen des Quadrierens  nicht vergessen)

, resubstituieren.

sin(x) = 0,9905650487

→ x = 82,1° ( + k • 360°)    oder  x = 180° - 82,1° (+ k • 360°)       [ k∈ℤ ]

→ x = 82,1° ( + k • 360°)    oder  x = 97,9°  (+ k • 360°)       [ k∈ℤ ]

Gruß Wolfgang

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Danke super.

 ich hatte nur einen blöden Rechenfehler

Answer 2

2*sin(x) -3*cos(x)= 1,57 | +3 cos(x)

2*sin(x) = 1,57 +3*cos(x) |(...)^2

4 sin^2(x)= 2.4649 +9.42 cos(x) +9 cos^2(x)

Allg gilt: sin^2(x) +cos^2(x)=1

->

4(1 -cos^2(x)=  2.4649 +9.42 cos(x) +9 cos^2(x)

4 - 4cos^2(x)=  2.4649 +9.42 cos(x) +9 cos^2(x)

- 13 cos^2(x) -9.42 cos(x) +1.535 =0

 :(-13) und dann  z= cos(x) -PQ-Formel

Zum Schluß Probe machen und eventuell Scheinlösungen eleminieren.