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habe eine Frage zur Bestimmung des Konvergenzradius wenn z^n im Zähler steht. Und zwar  wollte ich das dann wie unten umformen und dann mit der Hadamardformel weitermachen. Allerdings bringt mich das auch nicht wirklich weiter. Hat vielleicht jemand einen Tipp? :)


$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { z }^{ n{  }^{ 2 } } }{ { n }^{ 8 } }  } =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 8 } } *{ z }^{ 2n } }  $$

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\(z^{n^2}\ne z^{2n}\). Du wirst Dich entscheiden muessen, bzw. die Aufgabe richtig abschreiben.

Ganz prinzipiell lautet die Frage: Was ist der Koeffizient \(a_k\) von \(z^k\). Darauf musst Du eine Antwort finden, bevor Du Cauchy-Hadamard anwenden kannst.

Potenzen werden Doch aber potenziert indem man die exponenten multipliziert und die Basis beibehält, deshalb dachte ich man könnte es so umformen

kommt drauf an, meinst du in der Aufgabenstellung z^{n^2} oder (z^n)^2 ? Im zweiten Fall darf man den Exponenten als Faktor davorziehen.

\(z^{n^2}=z^{(n^2)}\). Potenzierung ist rechtsassoziativ.

Okay danke! In der Aufgabenstellung steht es so wie ich es abgetippt habe, also ohne Klammer

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hier ist es einfacher das Quotientenkriterium zu nutzen :

r =lim n --> ∞  abs(an/an+1) =  lim n --> ∞  (an/an+1) = lim n --> ∞ (n+1)^8/(n^8) = 1

Für z = ±1 konvergiert die Reihe ebenfalls, weil ∑∞n=1  (±1)^{2n}/(n^8) < ∑∞n=1  1/(n^8) und diese Reihe ist konvergent .

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Aber das Quotientenkriterium ist das gar nicht möglich, da unendlich viele a=0 möglich sind. Oder irre ich mich da?

Quotientenkriterium ist Quatsch, da hier nicht anwendbar.

Tippfehler:

∑∞n=1  (±1)2n/(n8)  =  ∑∞n=1  1/(n8)

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