konvergenzradius mit z im Zähler bestimmen

Question

habe eine Frage zur Bestimmung des Konvergenzradius wenn z^n im Zähler steht. Und zwar  wollte ich das dann wie unten umformen und dann mit der Hadamardformel weitermachen. Allerdings bringt mich das auch nicht wirklich weiter. Hat vielleicht jemand einen Tipp? :)

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { z }^{ n{  }^{ 2 } } }{ { n }^{ 8 } }  } =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 8 } } *{ z }^{ 2n } }  $$

Comments

\(z^{n^2}\ne z^{2n}\). Du wirst Dich entscheiden muessen, bzw. die Aufgabe richtig abschreiben.

Ganz prinzipiell lautet die Frage: Was ist der Koeffizient \(a_k\) von \(z^k\). Darauf musst Du eine Antwort finden, bevor Du Cauchy-Hadamard anwenden kannst.

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Potenzen werden Doch aber potenziert indem man die exponenten multipliziert und die Basis beibehält, deshalb dachte ich man könnte es so umformen

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kommt drauf an, meinst du in der Aufgabenstellung z^{n^2} oder (z^n)^2 ? Im zweiten Fall darf man den Exponenten als Faktor davorziehen.

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\(z^{n^2}=z^{(n^2)}\). Potenzierung ist rechtsassoziativ.

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Okay danke! In der Aufgabenstellung steht es so wie ich es abgetippt habe, also ohne Klammer

Answer 1

hier ist es einfacher das Quotientenkriterium zu nutzen :

r =lim n --> ∞  abs(a_n/a_n+1) =  lim n --> ∞  (a_n/a_n+1) = lim n --> ∞ (n+1)^8/(n^8) = 1

Für z = ±1 konvergiert die Reihe ebenfalls, weil ∑∞_n=1  (±1)^{2n}/(n^8) < ∑∞_n=1  1/(n^8) und diese Reihe ist konvergent .

Comments

Aber das Quotientenkriterium ist das gar nicht möglich, da unendlich viele a_m =0 möglich sind. Oder irre ich mich da?

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Quotientenkriterium ist Quatsch, da hier nicht anwendbar.

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Tippfehler:

∑∞_n=1  (±1)²ⁿ/(n⁸)  =  ∑∞_n=1  1/(n⁸)