Question

Sei \( I = [-2,3],\) und sei  \( f : I \rightarrow  R\) gegeben durch

 $$ f(x)={ 2x }^{ 3 }-{ 3x }^{ 2 }-12x+12. $$

1) Begründen Sie, warum \(f\) in \(I\) ein Maximum und ein Minimum besitzt.

2) Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum.

3) Geben Sie die Bildmengen \(f(I)\) und \(f([0, 3])\) an.

Comments

Hier die Funktion im Intervall (blau), sowie deren erste (rot) und zweite (grün) Ableitung:

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Ok, vielen Dank. Muss ich also für die 2) nur die erste Ableitung gleich Null setzen?

Answer 1

1)

EIne Funktion hat ein Maximum oder Minimum, wenn ihre erste Ableitung gleich Null ist. Die Gleichung d/dx 2x^3−3x^2−12x+12 = 0 hat zwei Lösungen, nämlich x=-1 und x=2; beide liegen im Intervall.

Die Funktion hat also zwei Extremstellen im Intervall. Aufgrund ihrer zweiten Ableitung sieht man, dass es sich um ein Maximum und um ein Minimum handelt.

2)

f(-1) = 19 und f(2)  = -8

Die Punkte liegen also bei (-1,19) und (2,-8)

3)

Die Bildmenge im Intervall [-2,3] reicht von y=-8 bis 19 und die Bildmenge im Intervall [0,3] von y=-8 bis f(0) (=12)

Comments

Vielen vielen Dank. Jetzt kann ich es wieder.