Sei I=[−2,3], I = [-2,3],I=[−2,3], und sei f : I→R f : I \rightarrow Rf : I→R gegeben durch
f(x)=2x3−3x2−12x+12. f(x)={ 2x }^{ 3 }-{ 3x }^{ 2 }-12x+12. f(x)=2x3−3x2−12x+12.
1) Begründen Sie, warum fff in III ein Maximum und ein Minimum besitzt.
2) Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum.
3) Geben Sie die Bildmengen f(I)f(I)f(I) und f([0,3])f([0, 3])f([0,3]) an.
Hier die Funktion im Intervall (blau), sowie deren erste (rot) und zweite (grün) Ableitung:
1)
EIne Funktion hat ein Maximum oder Minimum, wenn ihre erste Ableitung gleich Null ist. Die Gleichung d/dx 2x3−3x2−12x+12 = 0 hat zwei Lösungen, nämlich x=-1 und x=2; beide liegen im Intervall.
Die Funktion hat also zwei Extremstellen im Intervall. Aufgrund ihrer zweiten Ableitung sieht man, dass es sich um ein Maximum und um ein Minimum handelt.
2)
f(-1) = 19 und f(2) = -8
Die Punkte liegen also bei (-1,19) und (2,-8)
3)
Die Bildmenge im Intervall [-2,3] reicht von y=-8 bis 19 und die Bildmenge im Intervall [0,3] von y=-8 bis f(0) (=12)
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