vollständige induktion - induktionsschluss

Question

folgende Aufgabe ist gegeben für die vollständige Induktion:

5 teilt 6ⁿ-1

So in der Musterlösung stand folgendes im Induktionsschluss:

6ⁿ⁺¹-1=(6•6ⁿ)-1=6•(6ⁿ-1)+6-1=6•(6ⁿ-1)+5

(I.V.)=6•(5p)+5

und ganz am Ende steht: =5(6p+1)

Ich habe nun nicht verstanden wie man au den letzten Teil kommt und inwiefern es die vollständige Induktion erfüllt.

Ich wäre für jede hilfreiche Anwtort dankbar :)

Answer 1

5 teilt 6^n - 1

Induktionsanfang n = 1

5 teilt 6^1 - 1 = 5 --> erfüllt

Induktionsschritt n --> n + 1

5 teilt 6^{n + 1} - 1

5 teilt 6 * 6^n - 1

5 teilt 6 * 6^n - 1 - 5

5 teilt 6 * 6^n - 6

5 teilt 6 * (6^n - 1)

Dies ist jetzt erfüllt, weil 5 teilt 6^n - 1

Answer 2

 Im Induktionsschluss ist zu zeigen, dass der Term 6ⁿ⁺¹-1 durch 5 teilbar ist

Dazu wird der Term umgeformt 6•(6ⁿ-1)+5 (die Gleichheit der Terme lässt sich nachrechnen).

Laut Induktionsvoraussetzung gibt es ein p, sodass 6ⁿ - 1 = 5p und so setzen wir in den Term ein: 6•(5p)+5.

Jetzt wird 5 ausgeklammert 5(6p+1) und dieser Term ist durch 5 teilbar (er hat den Faktor 5).

Nun haben wir unter Verwendung der Induktionsvoraussetzun gezeigt, dass 6ⁿ⁺¹-1 durch 5 teilbar ist.