Antwort mit KI erzeugt
Zeigen Sie: Für \( s>0 \) gilt:
Um zu zeigen, dass für \( s>0 \):
1. \(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} x^{s}=\infty\)
2. \(\lim \limits_{x \downarrow 0} x^{s}=0\)
müssen wir beide Limiten separat betrachten.
Teil 1: \(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} x^{s}=\infty\)
Für \( s>0 \), betrachten wir die Funktion \( f(x) = x^{s} \). Wenn \( x \) gegen unendlich geht, wird \( x^{s} \) immer größer, unabhängig davon, wie klein aber positiv \( s \) ist, da jede Zahl (größer als 1), erhoben zu einer positiven Potenz, gegen unendlich strebt.
Mathematisch ausgedrückt: Für jedes noch so große \( M>0 \), existiert ein \( X > 0 \), sodass für alle \( x > X \), \( x^s > M \). Dies bedeutet, dass \( x^s \) beliebig groß wird, wenn \( x \) gegen unendlich geht. Folglich,
\(
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} x^{s}=\infty.
\)
Teil 2: \(\lim \limits_{x \downarrow 0} x^{s}=0\)
Jetzt betrachten wir das Verhalten der Funktion \( f(x) = x^{s} \) für \( s>0 \), wenn \( x \) sich von positiven Werten her gegen 0 bewegt (\( x \downarrow 0 \)).
Da \( s>0 \), bedeutet dies, dass wir eine positive Zahl kleiner als 1 nehmen und zu einer positiven Potenz \( s \) erheben. Wenn \( x \) gegen 0 geht, dann geht \( x^s \) ebenfalls gegen 0, denn das Erheben einer Zahl zwischen 0 und 1 (ausschließlich) zu einer positiven Potenz ergibt eine Zahl, die näher bei 0 liegt als die Ausgangszahl selbst.
Mathematisch formuliert: Für jedes noch so kleine \( \epsilon > 0 \), existiert ein \( \delta > 0 \), sodass für alle \( 0 < x < \delta \), \( 0 < x^s < \epsilon \) gilt. Dies zeigt, dass \( x^s \) beliebig nahe an 0 kommt, wenn \( x \) sich 0 nähert, jedoch immer positiv bleibt. Daraus folgt,
\(
\lim \limits_{x \downarrow 0} x^{s}=0.
\)
Zusammenfassend, diese beiden Teile beweisen, dass für \( s>0 \):
- \( x^{s} \) strebt gegen unendlich, wenn \( x \) gegen unendlich geht,
- \( x^{s} \) strebt gegen 0, wenn \( x \) sich von positiven Werten her der 0 nähert.
