Ermitteln Sie die im Nutzenmaximum nachgefragten Gütermengen x1 und x2

Question

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabenstellung:

Ermitteln Sie die im Nutzenmaximum nachgefragten Gütermengen x₁ und x₂

Die Lagrange-Funktion dazu ist: L(x1,x2,lamda)= x₁^0,4 * x₂^0,6 + lamda*(60-2x₁-4x₂)

Die Ableitungen habe ich bereits ermittelt:

Ableitung von x_1: 0,4x₁^-0,6 * x₂^0,6-2lamda=0

Ableitung von x₂: x₁^0,4 * 0,6x₂^-0,4-4lamda=0

Ableitung von Lamda: 60-2x1 -4x₂=0

Leider komme ich hier nicht weiter, was das berechnen von x1 und x2 betrifft durch umformen etc.

Ich hoffe man kann mir helfen.

Answer 1

Hallo kasiabest,

ich würde die Aufgabe wie folgend lösen:

$$ 0,4x_1^{-0,6}x_2^{0,6}-2\lambda=0$$

$$0,6x_1^{0,4}x_2^{-0,4}-4\lambda=0$$

I. Gleichung mal (-2)+II. Gleichung.

$$0,6x_1^{0,4}x_2^{-0,4}-0,8x_1^{-0,6}x_2^{0,6}=0$$

III. Gleichung umformen und in obige Gleichung einsetzen:

$$x_1=30-2x_2$$

$$0,6(30-2x_2)^{0,4}x_2^{-0,4}=0,8(30-2x_2)^{-0,6}x_2^{0,6}$$

$$\frac{0,6}{0,8}\frac{(30-2x_2)}{x_2}=1$$

$$\frac{30}{x_2}=\frac{4}{3}+2$$

$$\frac{30}{x_2}=\frac{30}{9}$$

$$x_2=9$$

$$x_1=30-2 \cdot 9=12$$

mfg sigma

Zur Kontrolle

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5B%7B0.4x_1%5E%7B-0.6%7D+x_2%5E%7B0.6%7D-2a%3D0,0.6x_1%5E%7B0.4%7D+x_2%5E%7B-0.4%7D-4a%3D0,60-2x_1-4x_2%3D0%7D%5D