Gegeben sind:
- Nutzenfunktion: \( u(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2 \)
- Preise: \( p_1 = 1 \), \( p_2 = 2 \)
- Einkommen: \( m = 100 \)
Die Budgetrestriktion ist gegeben durch \(p_1 x_1 + p_2 x_2 = 100\Leftrightarrow x_1 + 2 \cdot x_2 = 100\).
Die Grenznutzen lauten:
\( MU_1 = \frac{\partial u}{\partial x_1} = 2x_1\)
\(MU_2 = \frac{\partial u}{\partial x_2} = 2x_2\)
Für ein Optimum gilt die Bedingung \(\frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}\), also
\(\frac{2x_1}{2x_2} = \frac{1}{2}\) \(\implies \frac{x_1}{x_2} = \frac{1}{2}\) \(\implies x_1 = \frac{1}{2} x_2 \)
Jetzt setzt man die Werte in die Budgetrestriktion ein.
Setze \( x_1 = \frac{1}{2} x_2 \) in \( x_1 + 2x_2 = 100 \) ein:
\( \frac{1}{2} x_2 + 2x_2 = 100 \implies \frac{1}{2} x_2 + \frac{4}{2} x_2 = 100 \implies \frac{5}{2} x_2 = 100 \implies x_2 = \frac{100 \cdot 2}{5} = 40 \)
Nun muss man noch \(x_1\) berechnen: \(x_1 = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \).
Die optimale Konsumentscheidung lautet also \((x_1^*, x_2^*) = (20, 40)\).
Falls es sich um perfekte Substitute handeln würde (was hier nicht der Fall ist), würde man die Güter nur dann in Kombination konsumieren, wenn das Preis-Grenznutzen-Verhältnis identisch ist. Ansonsten konsumiert man nur das "bessere" Gut (das mit dem höheren \( \frac{MU_i}{p_i} \)).
Hier gilt \(\frac{MU_1}{p_1} = 2x_1 \quad \text{und} \quad \frac{MU_2}{p_2} = x_2\).
Da diese Verhältnisse von \( x_1 \) und \( x_2 \) abhängen und nicht konstant sind, handelt es sich nicht um perfekte Substitute.
Alternativ (weil ich grade die Tags lese) kann man auch die Lagrange-Funktion aufstellen unter der Nebenbedingung der Budgetrestriktion:
\(\mathcal{L}(x_1, x_2, \lambda) = x_1^2 + x_2^2 + \lambda (100 - x_1 - 2x_2)\)
Dann bildet man die partiellen Ableitungen zu \(x_1, x_2, \lambda\):
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = 2x_1 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2x_1\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = 2x_2 - 2\lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = x_2\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 100 - x_1 - 2x_2 = 0\)
Aus den ersten beiden Bedingungen folgt:
\(2x_1 = x_2 \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2x_1\)
Setzte das jetzt in die Budgetrestriktion ein:
\( x_1 + 2x_2 = 100 \implies x_1 + 2(2x_1) = 100 \implies x_1 + 4x_1 = 100 \implies 5x_1 = 100 \implies x_1 = 20 \)
\(x_2\) bekommt man durch einsetzten von \(x_1\) in den aus den beiden Gleichungen im Lagrange-Verfahren berechneten Ausdruck: \(x_2 = 2x_1 = 2 \cdot 20 = 40\).
Das Güterbündel der optimalen Konsumentscheidung lautet also wie oben \((x_1^*, x_2^*) = (20, 40)\).
