Antwort mit KI erzeugt
O-Notation I Lösung
f2: \(\log _{2}\left((n !)^{2}\right)\)
Für diese Funktion verwenden wir die Stirling'sche Näherungsformel für \(n!\), die besagt, dass \(n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n\). Dies gibt uns eine grobe Idee über das Wachstum von \(n!\).
\(
f_{2}(n)=\log _{2}\left((n !)^{2}\right) \approx \log _{2}\left(\left(\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n\right)^{2}\right) = \log _{2}\left(2\pi n \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}\right)
\)
Dies kann weiter vereinfacht werden durch Anwendung der Logarithmusregeln als:
\(
\log _{2}(2\pi n) + 2n \log _{2}\left( \frac{n}{e} \right) \approx \log _{2}n + 2n\log _{2}n - 2n\log _{2}e
\)
Da \(2n\log _{2}n\) der term ist, der das Verhalten für sehr große \(n\) dominiert, können wir feststellen, dass:
\(
f_{2}(n) = \mathcal{O}(n\log n)
\)
f4: \(\left(\log _{2} n\right)^{\log _{2} n}\)
Diese Funktion kann auch als
\(
2^{\log_{2}(\log_{2}n)^{\log_{2}n}}
\)
betrachtet werden, was einem exponentiellen Wachstum von \((\log_{2}n)^{\log_{2}n}\) im Vergleich zum linearen oder polynomialen Wachstum entspricht. Es zeigt ein superpolynomiales, aber kein exponentielles Wachstum in \(n\), weil das Wachstum abhängig von \(\log n\) ist, nicht direkt von \(n\). Also,
\(
f_{4}(n) = \mathcal{O}((\log n)^{\log n})
\)
f5: \(9^{\log _{3} n}\)
Verwenden wir die Regel zum Basenwechsel für Logarithmen sowie die Potenzregeln, um diese Funktion umzuformen:
\(
9^{\log _{3} n} = (3^{2})^{\log_{3}n} = 3^{2\log_{3}n} = 3^{\log_{3}n^{2}} = n^{2}
\)
Diese vereinfachte Umformung zeigt, dass \(f_{5}(n) = \mathcal{O}(n^2)\).
Sortierung nach asymptotischem Wachstum:
Wenn wir diese Funktionen sortieren, erhalten wir:
1. \(f_{5}(n) = n^{2}\), da \(f_{5}\) direkt als \(n^{2}\) ausgedrückt werden kann.
2. \(f_{2}(n) = \mathcal{O}(n\log n)\), da \(f_{2}\) aufgrund der Stirling-Näherung und der Logarithmusregeln dieses Wachstum zeigt.
3. \(f_{4}(n) = \mathcal{O}((\log n)^{\log n})\), zeigt ein superpolynomiales Wachstum, ist aber langsamer als exponentielles Wachstum.
Deshalb ist die endgültige Reihenfolge: \(f_{5} < f_{2} < f_{4}\), wobei jede Funktion langsamer wächst als die nach ihr aufgelistete.
