Taylorpolynom von f(x) = e^{3x} sin(2x) berechnen.

Question

Aufgabe:

2a) Berechnen Sie

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{\ln \left(e^{\frac{3 n+1}{n+3}}\right)-\tan \frac{n^{2} \pi}{1+2 n^{2}}} \)

2b) Es sei

\( f(x)=e^{3 x} \sin (2 x) \)

Berechnen Sie das Taylorpolynom vom Grad 5 von \( f \) bei Entwicklung um \( x_{0}=0 \) unter Benutzung der Taylorreihen von \( e^{x} \) und \( \sin x \).

Berechnen Sie aus dem Taylorpolynom den Wert von \( f^{(4)}(0) \)

Answer 1

Ich mache mal die Aufgabe b)

sin(x) ~ 0 + x - 0x^2 - 1/6*x^3 + 0x^4 + 1/120*x^5
sin(2x) ~ 0 + 2*x - 4*0x^2 - 8*1/6*x^3 + 16*0x^4 + 32*1/120*x^5
sin(2x) ~ 2*x - 4/3*x^3 + 4/15*x^5

e^x ~ 1 + x + 1/2*x^2 + 1/6*x^3 + 1/24*x^4 + 1/120*x^5
e^{3x} ~ 1 + 3*x + 9*1/2*x^2 + 27*1/6*x^3 + 81*1/24*x^4 + 243*1/120*x^5
e^{3x} ~ 1 + 3*x + 9/2*x^2 + 9/2*x^3 + 27/8*x^4 + 81/40*x^5

sin(2x) * e^{3x} ~ (2*x - 4/3*x^3 + 4/15*x^5)·(1 + 3*x + 9/2*x^2 + 9/2*x^3 + 27/8*x^4 + 81/40*x^5)
sin(2x) * e^{3x} ~ 2*x + 6*x^2 + 23/3*x^3 + 5*x^4 + 61/60*x^5 + ...

t(x) = 2*x + 6*x^2 + 23/3*x^3 + 5*x^4 + 61/60*x^5
t^IV(0) = 2*3*4*5 = 120