Wie intergriere ich diese Funktion: (2x^2 - x - 2)*e^{4x}?

Question

Wie integriert man sowas? Habe da in den Integrationstabellen nicht gefunden!

 \( \int\left(2 x^{2}-x-2\right) · e^{4 x} d x \)

Answer 1

Ich vermute eine Stammfunktion der Form

F(x) = (ax^2 + bx + c) * e^{4x}

Diese leite ich ab

f(x) = (2ax + b) * e^{4x} + (ax^2 + bx + c) * 4 * e^{4x}
f(x) = e^{4x} * (4ax^2 + x(2a + 4b) + (b + 4c))

Und führe jetzt einen Koeffizientenvergleich durch

4a = 2
a = 0.5

2a + 4b = -1
2*0.5 + 4b = -1
b = -0.5

b + 4c = -2
-0.5 + 4c = -2
c = -0.375

F(x) = (0.5x^2 - 0.5x - 0.375) * e^{4x}

Comments

Danke, aber wie kommt man darauf, dass (4a = 2) und (2a + 4b = -1) sind?

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Du hast die Funktion

f(x) = e^{4x} * (2x^2 - x - 2)

Das vor dem x^2 ist 2, vor dem x ist -1 und ohne x ist -2.

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Hi Mathecoach,

kann es sein, dass verschiedene Lösungsergebnisse möglich sind, einmal beim Faktorisieren und so wie ich es nachgerechnet habe= 2mal partiell Integrieren und 1mal substituieren?

Mit der Faktorisierung sieht es viel einfacher aus. Aber mich verunsichern die verschiedenen Ergebnisse.

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*E-Mails nicht erlaubt* Unterschiede müssten sich mit der sog. Integrationskonstanten + C erklären lassen. Das kann bei Exponentialfunktionen etwas ungewohnt aussehen. Am besten zeichnest du beide Resultate maschinell auf, um zu sehen, ob da nur eine Unterschied von +C besteht.

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Hi mic. Auf was für eine Lösung warst du denn gekommen?

Answer 2

Mit zweimaliger partieller Integration und anschließendem Faktorisieren und Zusammenfassen lässt sich die Integration auch direkt durchführen.