Beweise: e^x * (x-y) > e^x - e^y > e^y * (x-y)

Question

bei einer Altklausur bin ich auf folgende Aufgabenstellung gestoßen. Jetzt habe ich ehrlich gesagt keine Idee

mit welchem Ansatz man diese bearbeiten kann. Ich habe viel rumprobiert. Aber dabei kam nichts in meinen Augen schlüssiges raus. Über Eure Hilfe würde ich mich sehr freuen:

Zeigen Sie, dass für alle x,y ∈ℝ mit x > y > 0 gilt: e^x * (x-y) > e^x - e^y > e^y * (x-y)

Grüße,

Heiko K.

Answer 1

e^x * (x-y) > e^x - e^y > e^y * (x-y)   kannst du durch (x-y) dividieren, da y<x

e^x  > (e^x - e^y ) / ( x - y )> e^y  

und bei e^x ist ja die Ableitung auch e^x also sagt

das nur aus :

f ' (x) <  mittlere Steigung im Intervall [x;y]  <  f ' (y)

und weil f '(x) streng monoton wachsend ist, stimmt das.

Comments

Hallo mathef,

f ' (x) <  mittlere Steigung im Intervall [x;y]  <  f ' (y)

muß es nicht

f ' (x) >  mittlere Steigung im Intervall [x;y]  >  f ' (y)

heißen ?

mfg Georg

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Meinst du
e^x > e^y
( e^x ) ´ > ( e^y ) ´
und da
( e^x - e^y ) / ( x - y ) die durchschnittliche Steigung  im Intervall ist gilt
( e^x ) ´ > ( e^x - e^y ) / ( x - y ) > ( e^y ) ´
gilt
e^x > ( e^x - e^y ) / ( x - y ) > e^y

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Genau, hab nicht sorgfältig gelesen und x < y im Kopf gehabt.

Answer 2

mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt:

f'(x₀)= e^{x₀} = (e^x-e^y)/(x-y) , y<x₀<x

--> e^{x₀}*(x-y)=e^x-e^y

Da  y<x₀<x folgen deine Ungleichungen nun, weil f(x)=e^x streng monoton wachsen ist.