Zeigen, dass e^x ≥ x^e auf (0,∞) gilt

Question

Meine Vorgehensweise:

\(e^x \geq x^e \Leftrightarrow \ln(e)\cdot x = x \geq \ln(x)\cdot e\).

Man betrachte nun \(f:(0,\infty) \to \mathbb{R}\), \(f(x)=x-\ln(x)\cdot e\).

Die Gleichheit gilt für \(f'(x)=0\), also \(x=e\). Weiterhin habe ich gezeigt, dass \(f'(x) =1-\frac{e}{x}>0\) für \(x\in (e,\infty)\) gilt und \(f'(x)<0\) für \(x \in (0,e)\) gilt.

Kann ich daraus ableiten, dass \(f\) ein globales Minimum ist und damit die Ungleichung \(\forall x\in (0,\infty)\) gilt? Geht es eventuell noch leichter oder ist es sogar falsch?

Answer 1

f'(x) = 1 - e/x = 0 → x = e mit VZW von - nach + und damit TP

f(e) = e - e*ln(e) = 0 → TP(e | 0)

Damit hast du gezeigt dass x - e*ln(x) ≥ 0 bzw. x ≥ e*x bzw. e^x ≥ x^e

Skizze:

~plot~ e^x;x^e;[[0|4|0|50]] ~plot~

Comments

Im Skript steht:

Sei \(D\subset \mathbb{C}\) und \(f: D\to \mathbb{R}\) eine Funktion. Ein Punkt \(x\in D\) heißt:

lokales Minimum von \(f\), wenn es \(\varepsilon >0\) gibt mit \(f(y)\geq f(x)\) für alle \(y\in D \cap B_{\varepsilon} (x)\).

Wähle ich hier \(\varepsilon =e\)?

Bemerkung: \(B_\varepsilon (x):=\{w\in \mathbb{C}: |x-w|<\varepsilon\}\)

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Eigentlich sollte wohl w = e sein. Die Definition für w vermisse ich auch irgendwie bei dir.

Wichtig ist das du alles tatsächlich auch exakt so aufschreibst wie du es vorliegen hast.

Mathematik ist eine Strukturwissenschaft und die hat leider sehr viel mit Sorgfalt zu tun.

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Sorry, jetzt habe ich es richtig abgetippt. (Kommentar-Update)

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Das Vorzeichenwechselkriterium lässt sich über den Mittelwertsatz herleiten, wäre aber vsl. unnötig aufwendig.

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1 - e/x = 0

x - e = 0

y = x - e ist eine steigende lineare Funktion. Da braucht man nicht viel über ein VZW diskutieren oder? Natürlich könntest du es auch herleiten.

Damit ist die ε-Umgebung um x herum gemeint. Also alle Zahlen die von x einen kleineren Abstand als ε haben.