vollständige Induktion: Ungleichung 2^n > n^2 für alle n ≥ 5?

Question

 hallo ich komme leider nicht weiter

\( 2^{n}>n^{2} \) für alle \( 5 \leq n \in \mathbb{N} \)

Comments

Ich soll durch vollständige Induktion zeigen, dass: 2ⁿ > n² für alle natürlichen Zahlen n ≥ 5. Wie mache ich das richtig? Stehe auf dem Schlauch! Danke

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Zeigen Sie durch vollständige Induktion: 2ⁿ > n² für alle natürlichen Zahlen n ≥ 5.

Answer 1

Wir müssten zunächst den Hilfssatz 2ⁿ>2n+1 für n>2 beweisen. Am besten wieder durch vollständige Induktion. Dann können wir so vorgehen:

2ⁿ>n² (Induktionsvoraussetzung)

2ⁿ>2n+1 (Hilfssatz). Beide Ungleichungen addieren

2ⁿ+2ⁿ>n²+2n+1

2·2ⁿ>(n+1)²

2ⁿ⁺¹>(n+1)² was zu beweisen war.

Comments

Man könnte zunächst den Hilfssatz 2ⁿ>2n+1 für n>3 berweisen (auch durch vollständige Induktion).

Dann beginnt man mit der Induktionsvooraussetung 2ⁿ > n² und addiert die Ungleichung des Hilfssatzes:

2ⁿ+2ⁿ>n²+2n+1 oder 2ⁿ⁺¹>(n+1)² (das ist die Induktionsbehauptung).

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Hallo, wie würde das für die selbe Aufgabe bloß mit 2ⁿ>n³ mit n>=10 aussehen?

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wie würde das für die selbe Aufgabe bloß mit 2n>n³ mit n>=10 aussehen?

Zeige es zuerst für \(n=10\)$$2^{n}>n^{3} \quad n \ge 10\\ n=10:\quad 2^{10} = 1024 \gt 10^{3} = 1000 \space \checkmark$$und dann den Schritt von \(n\) nach \(n+1\)$$\begin{aligned} 2^{n+1}&= 2^n \cdot 2 \\ &\gt n^3 \cdot 2 &&|\,\text{lt. Vor. (s.o.)}\\ &= n^3 + n^3 &&|\, n \gt 4\\ &\gt n^3 + 4n^2\\ &= n^3 + 3n^2+n^2 &&|\, n \gt 4 \\ &\gt n^3 + 3n^2 + 4n \\ &= n^3 + 3n^2 + 3n + n&&|\, n \gt 1 \\ &\gt n^3 + 3n^2 + 3n + 1\\ &= (n+1)^3 \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}$$

Answer 2

Behauptung: 2^n>n^2 für n>=5

IA: n=5: 2^5=32>5^2=25

IV: 2^n>n^2

IS: 2^{n+1}=2*2^n>2*n^2=n^2+n^2>n^2+2n+1=(n+1)^2

Dass n^2>2n+1 ist müsstest du streng genommen noch mit Induktion beweisen, daran kannst du es ja nochmal üben.

Comments

Hallo,

wie sind Sie bei IS auf 2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ > 2 * n² ... gekommen (also auf die fettgedruckte 2)?

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Von

2^n > n^2

wurde auf.

2*2^n > 2*n^2

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