Beweisen Sie, dass gilt: a + 1/a ≥ 2 für alle a ∈ℝ mit a > 0

Question

Hi, also meine Aufgabe lautet: Beweisen Sie, dass gilt: a + 1/a ≥ 2 für alle a ∈ℝ mit a > 0.

Ich habe das mit Beweis durch Induktiion versucht:

Induktionsanfang: a = 1

1 + 1/1 ≥ 2, stimmt

Induktionsschritt: a --> a+1

(a+1) + 1/(a+1) ≥ 2

Dann habe ich das in 2 Fälle aufgeteilt:

1. Fall: a=[1;+∞)

nun gilt, dass (a+1) ≥ 2 ist und somit gilt auch (a+1) + 1/(a+1) ≥ 2

2. Fall a=(0;1)

nun hätte man ja für lim((a+1) + 1/(a+1)) = 0 + 1 + 1/(0+1) ≥ 2
                                     a→0

Nun meine Frage: kann man das so machen? Oder gibt es da eine bessere Lösung, weil
in der Vorlesung/Übung haben wir das anders gemacht.

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

macht man nicht mit Induktion.

Zu zeigen:

a + 1/a ≥ 2          | • a  [>0]

⇔ a² + 1 ≥ 2a    | - 2a

⇔ a² - 2a +1 ≥ 0

⇔ (a - 1)² ≥ 0   (wahr)

Gruß Wolfgang

Answer 2

Induktionsschritt:

n+1 + 1/(n+1) = n + n *(1/n) + 1/(n+1)

                       = (n + 1/n) + (n-1)*(1/n) + 1/(n+1)

                       >= 2 + (n-1)/n + 1/(n+1)

                       >= 2

(n-1)/n >= 0 und 1/(n+1) > 0, für alle n > 0

Comments

Du hast auch schon mal bessere Beiträge geliefert.

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Woran hapert's? Aufklärung käme mir gelegen.

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Dem Fragesteller wäre mit einem Hinweis auf die Unsinnigkeit jeglichen Versuchs eines Induktionsbeweises mehr geholfen.

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Jetzt sehe ich auch, dass a in R liegt.^^

Es ist schon spät, man möge mir verzeihen. Danke für den Hinweis, und schönen Abend noch.

Also: Induktion nur über natürliche Zahlen!