Ungleichung beweisen: n * a^{n-1} ≥ ( a^n - b^n ) / ( a - b) ≥ n * b^{n-1}

Question

Folgende Ungleichung mit den Bedingungen a, b > 0  ; a > b und n ∈ N

n * a^n-1 ≥ ( a ⁿ - b ⁿ ) / ( a - b) ≥ n * b ^n-1 

Habe erst gedacht ich könnte zu der arithmetischen Ungleichung umformen da ja (a-b) wegkürzen kann geht aber irgendwie nicht jetzt wollte ich Induktion nach n machen der anfang wäre n = 1: 1 ≥ 1 ≥ 1 aber ich denke man müsste die ungleichung auf zwei Induktionen aufteilen und weiss nicht was ich weiter machen soll :/ oder geht es noch anders ?

Answer 1

Hi,
es gilt $$ \frac{a^n - b^n}{a-b} = \sum_{k=0}^{n-1}b^k \cdot a^{n-k-1} $$ Daraus folgt
$$ \sum_{k=0}^{n-1}b^k \cdot a^{n-k-1} < \sum_{k=0}^{n-1} a^k \cdot a^{n-k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1} = n \cdot a^{n-1} $$
Genauso folgt die andere Abschätzung.

Comments

Oh vielen dank. Wäre dann  (na ^n-1 ) das gleiche wie

(aⁿ - a^{n )} / (a - a) ? Oder hast du wegen der Abschätzung a ^k entfernt?

---

Sry Nein es geht ja in das andere über das ^k Aber ich finde die lösung tollWürde gern schön einfach schreiben (a ⁿ - a ⁿ ) / (a -a)aber dann kommt ja null raus?

---

Es kommt nicht "Null raus", es wäre eine verbotene Division durch 0

---

Weil es eine Aufgabe ist die ich bearbeiten soll wollte ich es etwas ändern weil ich nicht weiss ob das betrug ist wenn ich es direkt übernehme von dir.

---

Ah okay stimmt und wenn ich es nicht weiter rechne und so stehen lasse oder muss ich mit den summen arbeiten?

---

Hi, ist die Aufgabe jetzt für dich gelöst oder hast Du noch Fragen.? Aus den Kommentaren bin ich nicht schlau geworden.

---

Also Nein ich wollte nur noch wissen ob

n * a ^n-1 

Äquivalent zu

(aⁿ - aⁿ  ) / ( a - a ) ist?

---

(a ⁿ - a ⁿ)  / (a - a)

= (a ⁿ - a ⁿ ) *  ( a - a ) ^-1 

= ( a + a) ^n-1  * (a - a) * (a - a) ^-1 = (a + a) ^n-1

weiss leider nicht was noch umstellen kann um auf n * a ^n-1 zu kommen :(

---

Also \( \frac{a^n-a^n}{a-a} \) ist eine Division \( \frac{0}{0} \) und nicht erlaubt.

---

Ok. Ich kenne deine formel und sie kommt erst in meiner nächsten Lektion dran. Deswegen dachte ich man kann es noch anders schreiben ?

---

noch anders

Es gibt kaum eine Aufgabe, die so dermaßen nach dem Mittelwertsatz schreit.

---

(a + a) ^n-1 ≥ (a + b) ^n-1 ≥ (b + b) ^n-1  wurzel ziehen:

(a + a) ≥ (a + b) ≥ (b + b)   durch 2 teilen

a ≥ (a + b) / 2 ≥ b

a > b , a, b > 0

meinst du so ?