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Aufgabe:

Zeigen sie für alle natürlichen $$n \geq 2$$, dass 4^n - 2^n = n^2 + n +5 gilt.


Problem/Ansatz:

Hier ist meine Ansatz mit vst. Indukton:

1. Induktionsanfang (IA):} Zu zeigen ist, dass die Ungleichung für n = 2 gilt
Für n = 2 ist die linke Seite der Ungleichung 4^n - 2^n = 16 - 4 = 12.
Die rechte Seite ist 2^2 + 2 + 5 = 11.
Da $$12 \geq 11$$, ist die Ungleichung für n = 2 erfüllt.
2. Induktionsannahme: Nehmen wir an, die Ungleichung gilt für ein beliebiges, aber festes $$n \geq 2$$, d.h., $$4^n - 2^n \geq n^2 + n + 5$$.
3. Induktionsschritt (IS): Nun zeigen wir dass die Ungleichung dann auch für $$n = n + 1$$ gilt.
Betrachten wir die linke Seite der Ungleichung für n = n + 1:
$$4^{n+1} - 2^{n+1} = 4 \cdot 4^n - 2 \cdot 2^n = 4(4^n - 2^n) + 3 \cdot 2^n$$
Aufgrund der Induktionsannahme wissen wir, dass $$4^n - 2^n \geq n^2 + n + 5$$, also setzen wir dies in obige Gleichung ein und erhalten:
$$4^{n+1} - 2^{n+1} \geq 4(n^2 + n + 5) + 3 \cdot 2^n = 4n^2 + 4n + 20 + 3 \cdot 2^n$$
Um zu zeigen, dass dies größer oder gleich n^2 + n + 6 ist, müssen wir zeigen, dass $$4n^2 + 4n + 20 + 3 \cdot 2^n \geq n^2 + n + 6$$. Dies erreichen wir durch das Hinzufügen von 2n + 14 zu beiden Seiten:
$$4n^2 + 4n + 20 + 3 \cdot 2^n \geq n^2 + k + 6$$
$$4n^2 + 3n + 20 + 3 \cdot 2^n \geq n^2 + 6.$$
Da $$n \geq 2$$ ist, können wir sicher sagen, dass $$2n \geq 4$$, und daher ist
$$4n^2 + 3n + 20 + 3 \cdot 2^n \geq n^2 + 6$$
Das zeigt, dass die Ungleichung auch für n = n + 1 gilt.
Damit haben wir gezeigt dass es für n=2 und n=n+1 gilt, womit nach vollständiger Induktion der Beweis abgeschlossen ist. q.e.d.

Problem: Dies ist anscheinend Falsch, wo ist der Fehler/Wie beweise ich die Aussage richtig?

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4^n - 2^n = n^2 + n +5

Das gilt für n≈1,92564, aber für keine natürliche Zahl.

2 Antworten

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Ich denke hier ist was falsch:

also setzen wir dies in obige Gleichung ein und erhalten:$$4^{n+1} - 2^{n+1} \geq 4(n^2 + n + 5) + 3 \cdot 2^n = 4n^2 + 4n + 20 + 3 \cdot 2^n$$

Besser wohl so:

Aufgrund der Induktionsannahme wissen wir, dass $$4^n - 2^n \geq n^2 + n + 5$$

Dann ist zu zeigen $$4^{n+1} - 2^{n+1} \geq  (n+1)^2 + (n+1) +5$$

Dazu betrachten wir:

$$4^{n+1} - 2^{n+1} = 4\cdot 4^{n} - 2\cdot 2^{n}= 2\cdot ( 2 \cdot 4^{n} -  2^{n})  \ge 2\cdot (  4^{n} - 2^{n}) $$

Wegen der Ind.annahme also $$ \ge 2\cdot (  n^2 + n + 5 )=2n^2 + 2n + 10= n^2 + 2n + 1 + n^2 + 9 $$

$$= (n+1)^2 + n^2 + 4 + 5 $$

Und weil für \(n \geq 2\) sicher auch \(  n^2+4  \ge n+1 \) gilt , hat man

$$ \ge (n+1)^2 + (n+1) + 5 $$    q.e.d.

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Hallo:-)

Es gilt

\((n+1)^2+(n+1)+5=n^2+2n+1+n+1+5=n^2+3n+7\)

und nach Bernoullie

\(4(n^2+n+5)+3\cdot 2^n=4(n^2+n+5)+3\cdot (1+1)^n\geq 4(n^2+n+5)+3\cdot (1+n)\)

Und jetzt musst du diesen Term einfach weiter vereinfachen und nach unten abschätzen, bist du deine Induktionsbehauptung gezeigt hast.

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