Aufgabe:
Zeigen sie für alle natürlichen $$n \geq 2$$, dass 4^n - 2^n = n^2 + n +5 gilt.
Problem/Ansatz:
Hier ist meine Ansatz mit vst. Indukton:
1. Induktionsanfang (IA):} Zu zeigen ist, dass die Ungleichung für n = 2 gilt
Für n = 2 ist die linke Seite der Ungleichung 4^n - 2^n = 16 - 4 = 12.
Die rechte Seite ist 2^2 + 2 + 5 = 11.
Da $$12 \geq 11$$, ist die Ungleichung für n = 2 erfüllt.
2. Induktionsannahme: Nehmen wir an, die Ungleichung gilt für ein beliebiges, aber festes $$n \geq 2$$, d.h., $$4^n - 2^n \geq n^2 + n + 5$$.
3. Induktionsschritt (IS): Nun zeigen wir dass die Ungleichung dann auch für $$n = n + 1$$ gilt.
Betrachten wir die linke Seite der Ungleichung für n = n + 1:
$$4^{n+1} - 2^{n+1} = 4 \cdot 4^n - 2 \cdot 2^n = 4(4^n - 2^n) + 3 \cdot 2^n$$
Aufgrund der Induktionsannahme wissen wir, dass $$4^n - 2^n \geq n^2 + n + 5$$, also setzen wir dies in obige Gleichung ein und erhalten:
$$4^{n+1} - 2^{n+1} \geq 4(n^2 + n + 5) + 3 \cdot 2^n = 4n^2 + 4n + 20 + 3 \cdot 2^n$$
Um zu zeigen, dass dies größer oder gleich n^2 + n + 6 ist, müssen wir zeigen, dass $$4n^2 + 4n + 20 + 3 \cdot 2^n \geq n^2 + n + 6$$. Dies erreichen wir durch das Hinzufügen von 2n + 14 zu beiden Seiten:
$$4n^2 + 4n + 20 + 3 \cdot 2^n \geq n^2 + k + 6$$
$$4n^2 + 3n + 20 + 3 \cdot 2^n \geq n^2 + 6.$$
Da $$n \geq 2$$ ist, können wir sicher sagen, dass $$2n \geq 4$$, und daher ist
$$4n^2 + 3n + 20 + 3 \cdot 2^n \geq n^2 + 6$$
Das zeigt, dass die Ungleichung auch für n = n + 1 gilt.
Damit haben wir gezeigt dass es für n=2 und n=n+1 gilt, womit nach vollständiger Induktion der Beweis abgeschlossen ist. q.e.d.
Problem: Dies ist anscheinend Falsch, wo ist der Fehler/Wie beweise ich die Aussage richtig?
