Zeigen, dass cosh eine Umkehrfunktion arcosh besitzt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass cosh | _ℝ⁰⁺ : ℝ_0⁺ → cosh(ℝ) eine Umkehrfunktion arcosh besitzt. Bestimmen Sie Definitionsbereich, Bildmenge und Abbildungsvorschrift von arcosh.

Kann mir bitte einer diese Aufgabe lösen und erklärende Zwischenschritte aufschreiben, damit ich verstehe wie das geht?

Answer 1

cosh(x) = ( e^x + e^-x ) / 2

ist über IR_o⁺ streng monoton wachsend

(zeigst du z.B. mit Abl ist für x>0  positiv)

, also umkehrbar.

Defber. ist gegeben mit IR_o⁺ und wegen cosh(0)=1 und Grenzwert für

x gegen unedlich ist + unendlich ist Bildbereich [ 1 ; oo [

also für arcosh  Defbereich [ 1 ; oo [ und Bildbereich IR_o⁺  .

auflösen nach x 

( e^x + e^-x ) / 2= y

  e^x + e^-x  = 2y    I e^x

  e2x  + 1 = 2y*e^x

  e2x  - 2y*e^x + 1  = 0

  (e^x )^2   - 2y*e^x + 1  = 0   mit pq-Formel

e^x = y ±√ ( y^2 - 1 )  da e^x nie negativ

e^x = y  + √ ( y^2 - 1 )

x = ln ( y + √ ( y^2 - 1 ))

also arcosh(x) = ln ( x + √ ( x^2 - 1 ))