Warum kann man sinh(x/a) als Logarithmus darstellen?

Question

ich habe im meinem Mathe Skript diese Aussage gefunden...

Ich würde gerne verstehen auf welchem Zusammenhang dies beruht.

Bzw. Ich verstehe nicht warum sich der arcsinh so darstellen lässt.

Ich habe das im Zusammenhang mit der Integralrechnung gefunden, bei der ich eine Substitution durchführen muss.

Answer 1

sinh(x)=0.5*(e^x-e^-x)=y

2y=e^x-e^-x=t-1/t

2yt=t^2-1

t^2-2yt-1=0

t=sqrt(y^2+1)+y

e^x=sqrt(y^2+1)+y

x=ln(sqrt(y^2+1)+y)

also als Funktion:

y=ln(sqrt(x^2+1)+x)=arsinh(x)

--> arsinh(x/a)=ln(sqrt((x/a)^2+1)+x/a)

Answer 2

Schau mal dort, das ist zwar arcosh, geht aber bei sinh

so ähnlich.

Comments

wo dort?.......

---

Oh pardon, hab das Einfügen vergessen:

https://www.mathelounge.de/335242/zeigen-dass-cosh-eine-umkehrfunktion-arcosh-besitzt

Answer 3

y = sinh(x) hat eine Definition in der e^x vorkommt.

Nimm diese.

Im Verlauf der Umformung von y = sinh(x)

zur Umkerhfunktion arsinh(y) = x

musst du dann irgendwann den ln nehmen, um das x aus dem Exponenten runter zu nehmen.

Comments

ok ... ich verstehe jetzt---