Beta bestimmen G(t) = G0*e^{-beta*t+2*sint}?

Question

Das Abklingen einer Infektion in einem Organismus verläuft in Abhängigkeit vom Tagesverlauf mal schneller, dann wieder langsamer. Dies kann durch die Funktion
G(t) = G0*e^{-beta*t+2*sint}

modelliert werden, wobei beta >= 0 ein mittels der Dosierung der Medikation einstellbarer Wert ist. Je größer beta eingestellt wird, um so höher sind die Kosten der Behandlung. Bestimmen Sie einen Wert von beta so, dass es keine Schwankungen beim Abklingverlauf gibt, also so dass dieser monoton fallend verläuft, wobei gleichzeitig die Kosten möglichst niedrig bleiben sollen.

Answer 1

G(t) = G·e^{- b·t + 2·sin(t)}

G'(t) = G·e^{2·sin t - b·t}·(2·COS(t) - b) <= 0 Die Steigung muss kleiner Null sein
2·cos(t) - b <= 0
b >= 2·cos(t)

cos(0) ist 2 damit muss b mind. den wert 2 annehmen.

Skizze für G = 1 und b = 2

Comments

Vielen Dank für die Antwort! :)
Ich habe noch Fragen:
ist die Ableitung nicht eher:
g*e^{2*sin(t)-b*t} *(2*cos(t)-b)

oder habe ich mich da vertan?
2·g·cos(t) - b·g <= 0
2·cos(t) - b <= 0

Und wieso kann man da einfach das g "weglassen" im zweiten Schritt (2·cos(t) - b <= 0)

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In meiner Ableitung hatte ich das G nicht mit ausgekammert sondern. Daher war es noch in der Klammer drin.

Man kann es aber auch schon vorher ausklammern.

2·G·cos(t) - b·G <= 0

hier teilt man durch G damit es verschwindet. das braucht man nicht zu tun, wenn es eh schon ausgeklammert ist. Letztendlich kommt man zu

2·cos(t) - b <= 0