Berechne charakteristische Polynom bei f=Ableitung

Question

sei \(f\in End(\mathbb{R}_2[t]\)) definiert durch die Ableitung f(v) = v' bzgl. t

1.) Berechne das Charakteristische Polynom

2.) zeige f ist nicht diagonalisierbar.

Comments

Habe als A= [0,1,0;0,0,2] Ist aber keine quadratische Matrix

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Wie genau kommst du bei A auf sechs Zahlenwerte?

und

Wenn eine Matrix nicht quadratisch ist, ist sie dann nicht diagonalisierbar?

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Ich habe ja die Basis A=(1,x,x^2) und B=(1,x)

bei der Abbildung ergibt sich:

f(1)=0 also [0;0]

f(x)=1 also [1;0]

f(x^2)=2*x also [0;2] bzgl B.

Ja nur quadratische Matrizen sind diagonalisierbar.

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Zu Endomorphismen gehoeren auch immer quadratische Matrizen.

Was soll Dein B?

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Das sind die Basen. Kannst du mir die Matrix zu dieser Abbildung sagen?

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Ein Endomorphismus ist eine Selbstabbildung. Hier geht es von \(\mathbb{R}_2[t]\) nach \(\mathbb{R}_2[t]\). Es tut nichts zur Sache und es passt auch gar nicht zum Thema, dass das Bild von \(f\) isomorph zu \(\mathbb{R}_1[t]\) ist.

Answer 1

Du nimmst die Basis t^2 , t , 1

und bestimmst zu jedem Basiselement das Bild

f (t^2 )  = 2t  =   0t^2 + 2t + 0

f (t) = 1        = 0t^2 + 0*t +  1

f (1) = 0       =  0t^2  + 0t  + 0 

In dern Spalten der Matrix stehen jeweils die Koeffizienten der Bilder

0         0        0

2        0         0

0         1        0

Also char. Polynom = det von

0 -x        0        0

2        0-x          0

0         0         0-x

= -x^3 

Also Eigenwert nur  0

Eigenvektoren

zum EW 0

0        0        0

2        0          0

0         0         0
also x1 = 0 und x2 und x3  frei wählbar etwa s und t
und dann x2 =   -2s also
Vektor x = ( 0   ; s ; t ) = s*( 0 ; 1 ; 0 ) + t*(0;0;1)
damit ist   ( 0 ; 1 ; 0 ) ,  (0;0;1) eine Basis des Eigenraumes zum EW 0.

Also existiert keine Basis aus Eigenvektoren,
also nicht diagonalisierbar.

Comments

Du hast bei den letzten zwei Matrizen beim Eintrag a_32 die 1 vergessen. DH. am Schluss x2 muss auch 0 sein.

Danke dir aber verstehe es jetzt!

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Na dann ist ja alles klar.

So zeigt sich, dass man sogar aus den

Fehlern anderer Leute was lernen kann.